Ситуационные задачи

1. а) К33 = 0, поэтому третья бумага является безрисковой; 6) тр *

*7,96*8%;ар*7,7%.

2. Половину стоимости портфеля составляют акции компании

Boeing. Таким образом, задача состоит в выявлении такого вида акций

/, для которого двухкомпонентный портфель будет иметь наименьший

по всем возможным вариантам риск:

°] = Т 282 + 1 • а,2 + 2 • 1.lrw • 28 • a, - j ^ m i n ,

что равносильно минимизации суммы

Е = а,-2 + 56/^ш.

Отсюда понятно, что для решения достаточно ограничиться следующими

числовыми данными.

1 2 3 4 5 6 7

<*/ 28 29 25 29 24 39 42

Г\1 1 0,65 0,45 0,34 0,64 0,4 0,42

Сравнивая значения по столбцам, легко понять, что выбор следует

проводить между акциями Kodak (№3), Georgia Pacific (№4) и

McDonnell Douglas (№5):

min{25(25 + 56 • 0,45); 29(29 + 56 • 0,34); 24(24 + 56 • 0,64)} =

= min{1255; 1393,16; 1436,16} = 1255.

Выбрать следует акции компании Kodak.

3. Ожидаемую доходность ти и риск игры а и получим по правилам

теории вероятностей исходя из ряда распределения случайной

доходности вложения в игру:

Доходности 900% -100%

Вероятности 0,08 0,92

Откудати=-20%, а и = 271,29%.

Требуемую пропорцию найдем из уравнения /я„хи + гд(1 — хи) =

= 0, т.е. 0,3хи = 0 , 1 . Это означает, что играть следует на одной трети

капитала, а его оставшуюся часть поместить на депозит. При этом

риск комбинированного вложения, хотя и снизится втрое по сравнению

с игрой, но все равно будет достаточно большим: ар * 0,9=90%.

Таблица 6.20

Исход 1 Исход 2

Игра 10 хи 0

Депозит 1,1хд 1,1хд

Вероятности 0,08 0,92

Примечание. Ответ можно также получить, исходя из таблицы значений

наращенной на конец квартала суммы (табл. 6.20).

При таком рассмотрении условие сохранения капитала примет

вид: 0,08 • 10хи+1,1хд= 1.

хА

2оА

2 + хв

2св

2 + 2х/рсвоАовгАВ -» min.

4. а) т#А + т^в = тр

хА+хв<1,хА,хв>0.

Отметим, что данная модель совпадает с математическим описанием

задачи Тобина, в которой безрисковый актив («копилка») имеет

нулевую доходность;

б) хА

0ПТ = 0,4843, х / п т = 0,2924. Оставшуюся часть х н а л

о п т = 0,2233

следует хранить наличностью. Риск такого портфеля ар = 11,94%;

в) в акции А и В следует вложить 48430 руб. и 29240 руб. соответственно,

а остаток в сумме 22330 руб. оставить дома.

5. В соответствии с табличными данными определим ожидаемую

доходность рыночного портфеля тс = 19% и его риск ас =

= 9,95%, или, округляя до процентов, а с « 10%. Долю вложения х в

безрисковые ценные бумаги найдем из уравнения 8х + (1 — х)19 =

= 15. Откуда х0 = 4/11, и соответственно доля, приходящаяся на рыночный

портфель, х{ = 1 — xQ = 7/11, т.е. 360 млн руб. — в безрисковые

бумаги, а 630 млн руб. — в рыночный портфель. Сформированный

таким образом портфель пенсионного фонда будет иметь риск

а = хх - ас = 6,33%.

6. а) обозначим долю вложения в облигации через а, тогда 1 - а

— доля капитала, инвестируемая в рыночный портфель. В качестве

рекомендуемого портфеля следует выбрать тот, который удовлетворяет

требованию инвестора в расчете на наименее благоприятный

исход и обеспечивает максимум ожидаемой доходности. Модель такого

портфеля имеет вид

8а + 14 (1 - а) -> max;

8 а - 10(1 - а) ￡5.

Откуда а о п т = 15/18, иначе говоря, на 15 стоимостных единиц

безрисковых бумаг должны приходиться 3 стоимостные единицы акций

рыночного портфеля; б) применяя формулу (6.8), найдем вероятность

уклонения в пределах двух СКО:

/>(|Яс - / я с|<2а) = 2Ф(2).

Табличное значение функции Лапласа: Ф(2) = 0,47725. Отсюда

вытекает, что вероятность пренебрегаемых исходов

P(RC <тс-2ас) = P{RC < -10%) = 0,5 - 0,47725 = 0,02275.

7. При безрисковом вложении Р = 0; для рыночного портфеля

РС = 1. Без учета риска ТС = 0,3/0,1 = 3; с поправкой на риск ТСс к о р =

= 0,3/(0,1 4-1 • (0,2 — 0,1)) = 1,5. Таким образом, переплата из-за пренебрежения

риском составит величину А = 1,5 млн руб., или 100%.

8.11%.

1. а) К33 = 0, поэтому третья бумага является безрисковой; 6) тр *

*7,96*8%;ар*7,7%.

2. Половину стоимости портфеля составляют акции компании

Boeing. Таким образом, задача состоит в выявлении такого вида акций

/, для которого двухкомпонентный портфель будет иметь наименьший

по всем возможным вариантам риск:

°] = Т 282 + 1 • а,2 + 2 • 1.lrw • 28 • a, - j ^ m i n ,

что равносильно минимизации суммы

Е = а,-2 + 56/^ш.

Отсюда понятно, что для решения достаточно ограничиться следующими

числовыми данными.

1 2 3 4 5 6 7

<*/ 28 29 25 29 24 39 42

Г\1 1 0,65 0,45 0,34 0,64 0,4 0,42

Сравнивая значения по столбцам, легко понять, что выбор следует

проводить между акциями Kodak (№3), Georgia Pacific (№4) и

McDonnell Douglas (№5):

min{25(25 + 56 • 0,45); 29(29 + 56 • 0,34); 24(24 + 56 • 0,64)} =

= min{1255; 1393,16; 1436,16} = 1255.

Выбрать следует акции компании Kodak.

3. Ожидаемую доходность ти и риск игры а и получим по правилам

теории вероятностей исходя из ряда распределения случайной

доходности вложения в игру:

Доходности 900% -100%

Вероятности 0,08 0,92

Откудати=-20%, а и = 271,29%.

Требуемую пропорцию найдем из уравнения /я„хи + гд(1 — хи) =

= 0, т.е. 0,3хи = 0 , 1 . Это означает, что играть следует на одной трети

капитала, а его оставшуюся часть поместить на депозит. При этом

риск комбинированного вложения, хотя и снизится втрое по сравнению

с игрой, но все равно будет достаточно большим: ар * 0,9=90%.

Таблица 6.20

Исход 1 Исход 2

Игра 10 хи 0

Депозит 1,1хд 1,1хд

Вероятности 0,08 0,92

Примечание. Ответ можно также получить, исходя из таблицы значений

наращенной на конец квартала суммы (табл. 6.20).

При таком рассмотрении условие сохранения капитала примет

вид: 0,08 • 10хи+1,1хд= 1.

хА

2оА

2 + хв

2св

2 + 2х/рсвоАовгАВ -» min.

4. а) т#А + т^в = тр

хА+хв<1,хА,хв>0.

Отметим, что данная модель совпадает с математическим описанием

задачи Тобина, в которой безрисковый актив («копилка») имеет

нулевую доходность;

б) хА

0ПТ = 0,4843, х / п т = 0,2924. Оставшуюся часть х н а л

о п т = 0,2233

следует хранить наличностью. Риск такого портфеля ар = 11,94%;

в) в акции А и В следует вложить 48430 руб. и 29240 руб. соответственно,

а остаток в сумме 22330 руб. оставить дома.

5. В соответствии с табличными данными определим ожидаемую

доходность рыночного портфеля тс = 19% и его риск ас =

= 9,95%, или, округляя до процентов, а с « 10%. Долю вложения х в

безрисковые ценные бумаги найдем из уравнения 8х + (1 — х)19 =

= 15. Откуда х0 = 4/11, и соответственно доля, приходящаяся на рыночный

портфель, х{ = 1 — xQ = 7/11, т.е. 360 млн руб. — в безрисковые

бумаги, а 630 млн руб. — в рыночный портфель. Сформированный

таким образом портфель пенсионного фонда будет иметь риск

а = хх - ас = 6,33%.

6. а) обозначим долю вложения в облигации через а, тогда 1 - а

— доля капитала, инвестируемая в рыночный портфель. В качестве

рекомендуемого портфеля следует выбрать тот, который удовлетворяет

требованию инвестора в расчете на наименее благоприятный

исход и обеспечивает максимум ожидаемой доходности. Модель такого

портфеля имеет вид

8а + 14 (1 - а) -> max;

8 а - 10(1 - а) ￡5.

Откуда а о п т = 15/18, иначе говоря, на 15 стоимостных единиц

безрисковых бумаг должны приходиться 3 стоимостные единицы акций

рыночного портфеля; б) применяя формулу (6.8), найдем вероятность

уклонения в пределах двух СКО:

/>(|Яс - / я с|<2а) = 2Ф(2).

Табличное значение функции Лапласа: Ф(2) = 0,47725. Отсюда

вытекает, что вероятность пренебрегаемых исходов

P(RC <тс-2ас) = P{RC < -10%) = 0,5 - 0,47725 = 0,02275.

7. При безрисковом вложении Р = 0; для рыночного портфеля

РС = 1. Без учета риска ТС = 0,3/0,1 = 3; с поправкой на риск ТСс к о р =

= 0,3/(0,1 4-1 • (0,2 — 0,1)) = 1,5. Таким образом, переплата из-за пренебрежения

риском составит величину А = 1,5 млн руб., или 100%.

8.11%.