Расчетные задачи

1. 13,6%.

2. 0,1398 «14%.

3. а) согласно (6.7) 2Ф(8/а) = 0,98. Откуда (8/15%) * 2,34 и, следовательно,

5 = 15% • 2,34 = 35,1%. Таким образом, -28,1% < г <

< 42,1%; б) доверительный интервал для процентных денег получается

умножением найденных граничных значений доходности на величину

начального капитала: -281000 руб. < А < 421000 руб.; в) полагая

год равным 252 торговым дням, найдем волатильность и ожидаемую

доходность за один месяц:

а = 15% • V30/252 = 5,175%, ц = 7% -30/252 = 0,833%.

Откуда найдем верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала

по доходности:

|i - 2,34а « -11,28%, ц + 2,34а « 12,94%.

Переходя к капиталу, получим предельные значения его возможных

потерь и приобретений:

-112800 руб. < А < 129400 руб.;

г) максимально возможные потери начального капитала за год

при доверительном уровне 99% оцениваются значением показателя

VAR = 281000 руб.

4. а) средняя прибыль по каждому из вариантов: тА = 34,5; тв-

= 33. Следует выбрать варианте; б) дисперсия прибыли по каждому

варианту:

ау 4

2= 3 2 , 2 5 ; а / = 2 1 .

Следует выбрать вариант В\ в) коэффициент вариации (формула

(6.4)) по каждому варианту:

\ А « 5,68/34,3 « 0,16; %в » 4,58/33 « 0,14.

Следует выбрать вариант В.

5. Вариант «б».

6. оА = 5%, ов = 0,995%, тА = тв = 15%. Не склонный к риску инвестор

выберет акцию В.

7. а) тА = тв = 2%; оА = ав = 1,5%; б) глв = - 1 ; в) минимизирующий

риск разорения инвестор выберет акцию В; г) вкладываясь в

каждую акцию половиной капитала, инвестор добьется безрисковой

доходности г = 2%.

8. а) 14%; б) 10%; в) 12,17%.

9.2,35%.

10. Доли бумаг в портфеле составляют 52, 21 и соответственно

27%, его риск - 23,79%, а доходность равна заданной - 15%.

11. Решению соответствует табл. 6.19.

Таблица 6.19

Доминируемые

портфели Эффективные (оптимальные по Парето) портфели

°Р 8 7,56 7,54 7,94 8,70 9,74 10,99 12,37 13,85 15,67 18

*х

10

0

1

0

10,5

0,0494

0,8704

0,0802

11

0,0888

0,7467

0,1645

11,5

0,1281

0,6231

0,2487

12

0,1675

0,4995

0,3330

12,5

0,2069

0,3759

0,4173

13

0,2462

0,2523

0,5015

13,5

0,2856

0,1286

0,5858

14

0,3250

0,0050

0,6700

14,5

0,1667

0,000

0,8333

15

0

0

1

12. Задачу можно решить в три приема:

1) найти касательный портфель: х]с = 0, х2с = 0,5032, х3с = 0,4968;

тс = 22,5162%, а с = 4,1344%.

Примечание. Пропорции рисковых компонент в портфеле С удобно

определить, рассчитав оптимальные доли какого-либо портфеля с тр > 25 и

без ограничения на знак переменной х0 (решение аналогичной задачи средствами

Excel показано на типовом примере 5 в разделе 6.3);

2) записать уравнение прямолинейной траектории эффективных

портфелей (аналог линии рынка капитала) для задачи Тобина: ор —

= 0 , 3 9 / ^ - 4 , 7 1;

3) определить точку касания кривой безразличия, отвечающей

функции полезности U(R)9 и эффективной траектории, найденной

п. «2». Решая задачу оптимизации MU(R) = Зт — 0,\т2 - 0, l a 2 -> max

при условии, что а = 0,39т - 4,71 (т и а измеряются в процентах),

получим характеристики оптимального портфеля:

т0ПТ* 14,6%,ао п т « 1%.

Используя теорему о вложении в два фонда, найдем доли инвестирования

а 0 в безрисковый актив и ас = 1 - а0 в касательный портфель:

12ос0+ 22,5ас = 14,6. Откуда ос0= 0,75, ас = 0,25, т.е. четвертую

часть капитала инвестору целесообразно вложить в касательный

портфель С, а оставшиеся три части поместить на депозит под ставку

12%.

13. Согласно формуле (6.18) акции компании имеют ожидаемую

доходность:

in = 10% + 0,5(18% - 10%) = 14%.

Таким образом, стоимость (цена) капитала компании:

i = 0,4 • 10% + 0,6 • 14% = 12,4%.

14. а) 21,5%; б) 0,9; в)16,1%; г) 16,1%; д) 18,8%.

15. Рисковые бумаги входят в оптимальный портфель в соотношении

1:1. Если риск портфеля ограничен заданной величиной а*,

то инвестиции в рисковые бумаги должны быть равными и в сумме

составляют величину и = а * />/5; оставшуюся часть капитала v = 1 —

- и следует вложить в безрисковые бумаги.

16. а) А, Г, Ж; б) Е; в) 15%, портфель В; г) инвестирую 25/32 своих

денег в портфель Е и дам в долг 7/32 денег под 12%. Ожидаемая доходность:

12 • 7/32 + 18 • 25/32 = 16,7%. Риск не изменится: стандартное

отклонение: (25/32) • 32 = 25%. Выигрыш: Аг= 16,7 - 15 = 1,7%.

17. а) тр = 17%; ар « 18,08%; б) г = 0, vp « 14,88%; г = -0,5, ар *

« 10,76%; в) тр > тА, <ур < <зА. Портфель инвестора лучше портфеля,

полностью состоящего из акций А.

18. Р= Вер(Д > 5%) = 0,5 • Вер(|Л - 14%| < 9%) + 0,5 = Ф(9/15) +

+ 0,5 = Ф(0,6) + 0,5. Из таблицы значений функции Лапласа найдем,

что Ф(0,6) = 0,22575.Поэтому вероятность превышения безрисковой

ставки Р « 0,7.

19. А: 1, 0; Б : 2, 0; В : 1, 5; Г: 0; Д : - 1,0.

1. 13,6%.

2. 0,1398 «14%.

3. а) согласно (6.7) 2Ф(8/а) = 0,98. Откуда (8/15%) * 2,34 и, следовательно,

5 = 15% • 2,34 = 35,1%. Таким образом, -28,1% < г <

< 42,1%; б) доверительный интервал для процентных денег получается

умножением найденных граничных значений доходности на величину

начального капитала: -281000 руб. < А < 421000 руб.; в) полагая

год равным 252 торговым дням, найдем волатильность и ожидаемую

доходность за один месяц:

а = 15% • V30/252 = 5,175%, ц = 7% -30/252 = 0,833%.

Откуда найдем верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала

по доходности:

|i - 2,34а « -11,28%, ц + 2,34а « 12,94%.

Переходя к капиталу, получим предельные значения его возможных

потерь и приобретений:

-112800 руб. < А < 129400 руб.;

г) максимально возможные потери начального капитала за год

при доверительном уровне 99% оцениваются значением показателя

VAR = 281000 руб.

4. а) средняя прибыль по каждому из вариантов: тА = 34,5; тв-

= 33. Следует выбрать варианте; б) дисперсия прибыли по каждому

варианту:

ау 4

2= 3 2 , 2 5 ; а / = 2 1 .

Следует выбрать вариант В\ в) коэффициент вариации (формула

(6.4)) по каждому варианту:

\ А « 5,68/34,3 « 0,16; %в » 4,58/33 « 0,14.

Следует выбрать вариант В.

5. Вариант «б».

6. оА = 5%, ов = 0,995%, тА = тв = 15%. Не склонный к риску инвестор

выберет акцию В.

7. а) тА = тв = 2%; оА = ав = 1,5%; б) глв = - 1 ; в) минимизирующий

риск разорения инвестор выберет акцию В; г) вкладываясь в

каждую акцию половиной капитала, инвестор добьется безрисковой

доходности г = 2%.

8. а) 14%; б) 10%; в) 12,17%.

9.2,35%.

10. Доли бумаг в портфеле составляют 52, 21 и соответственно

27%, его риск - 23,79%, а доходность равна заданной - 15%.

11. Решению соответствует табл. 6.19.

Таблица 6.19

Доминируемые

портфели Эффективные (оптимальные по Парето) портфели

°Р 8 7,56 7,54 7,94 8,70 9,74 10,99 12,37 13,85 15,67 18

*х

10

0

1

0

10,5

0,0494

0,8704

0,0802

11

0,0888

0,7467

0,1645

11,5

0,1281

0,6231

0,2487

12

0,1675

0,4995

0,3330

12,5

0,2069

0,3759

0,4173

13

0,2462

0,2523

0,5015

13,5

0,2856

0,1286

0,5858

14

0,3250

0,0050

0,6700

14,5

0,1667

0,000

0,8333

15

0

0

1

12. Задачу можно решить в три приема:

1) найти касательный портфель: х]с = 0, х2с = 0,5032, х3с = 0,4968;

тс = 22,5162%, а с = 4,1344%.

Примечание. Пропорции рисковых компонент в портфеле С удобно

определить, рассчитав оптимальные доли какого-либо портфеля с тр > 25 и

без ограничения на знак переменной х0 (решение аналогичной задачи средствами

Excel показано на типовом примере 5 в разделе 6.3);

2) записать уравнение прямолинейной траектории эффективных

портфелей (аналог линии рынка капитала) для задачи Тобина: ор —

= 0 , 3 9 / ^ - 4 , 7 1;

3) определить точку касания кривой безразличия, отвечающей

функции полезности U(R)9 и эффективной траектории, найденной

п. «2». Решая задачу оптимизации MU(R) = Зт — 0,\т2 - 0, l a 2 -> max

при условии, что а = 0,39т - 4,71 (т и а измеряются в процентах),

получим характеристики оптимального портфеля:

т0ПТ* 14,6%,ао п т « 1%.

Используя теорему о вложении в два фонда, найдем доли инвестирования

а 0 в безрисковый актив и ас = 1 - а0 в касательный портфель:

12ос0+ 22,5ас = 14,6. Откуда ос0= 0,75, ас = 0,25, т.е. четвертую

часть капитала инвестору целесообразно вложить в касательный

портфель С, а оставшиеся три части поместить на депозит под ставку

12%.

13. Согласно формуле (6.18) акции компании имеют ожидаемую

доходность:

in = 10% + 0,5(18% - 10%) = 14%.

Таким образом, стоимость (цена) капитала компании:

i = 0,4 • 10% + 0,6 • 14% = 12,4%.

14. а) 21,5%; б) 0,9; в)16,1%; г) 16,1%; д) 18,8%.

15. Рисковые бумаги входят в оптимальный портфель в соотношении

1:1. Если риск портфеля ограничен заданной величиной а*,

то инвестиции в рисковые бумаги должны быть равными и в сумме

составляют величину и = а * />/5; оставшуюся часть капитала v = 1 —

- и следует вложить в безрисковые бумаги.

16. а) А, Г, Ж; б) Е; в) 15%, портфель В; г) инвестирую 25/32 своих

денег в портфель Е и дам в долг 7/32 денег под 12%. Ожидаемая доходность:

12 • 7/32 + 18 • 25/32 = 16,7%. Риск не изменится: стандартное

отклонение: (25/32) • 32 = 25%. Выигрыш: Аг= 16,7 - 15 = 1,7%.

17. а) тр = 17%; ар « 18,08%; б) г = 0, vp « 14,88%; г = -0,5, ар *

« 10,76%; в) тр > тА, <ур < <зА. Портфель инвестора лучше портфеля,

полностью состоящего из акций А.

18. Р= Вер(Д > 5%) = 0,5 • Вер(|Л - 14%| < 9%) + 0,5 = Ф(9/15) +

+ 0,5 = Ф(0,6) + 0,5. Из таблицы значений функции Лапласа найдем,

что Ф(0,6) = 0,22575.Поэтому вероятность превышения безрисковой

ставки Р « 0,7.

19. А: 1, 0; Б : 2, 0; В : 1, 5; Г: 0; Д : - 1,0.