6.2. Типовые примеры

1. Меры риска ценных бумаг.

В данный момент акции Aw В имеют курсовые стоимости 50

и 20 руб., а их ожидаемые доходности тА = 12%, тв = 8%. Инвестор

имеет 100 тыс. руб. и хочет приобрести эти акции, вложив в

каждый вид половину своего капитала. В конце года он собирается

их продать и получить прибыль. Определить:

а) риск каждой акции и портфеля в целом, если ковариационная

матрица доходностей (в виде десятичной дроби) будет

равна:

(0,06250 0,00375 \

А В " [о,00375 0,02250 /

б) характеристику VAR, основанную на нормальном распределении

и оценивающую максимально возможные потери капитала

по уровню значимости 95%.

Р е ш е н и е

а) риск акции определяется величиной СКО ее доходности:

аА =^0,0625=0,25; ав = Л/0,0225 =0,15.

Чтобы найти риск портфеля ар, воспользуемся формулой дисперсии

суммы:

Rp = XARA + * А ,

где R — доходность, х - доля вкладываемого капитала:

ар

2 = хА

2аА

2 + 2x^cBcov(RA, RB) + Xb2GB

2.

Согласно условию

ХА = ХВ = °>5> А C O V (RA> RB) = 0,00375,

и, следовательно,

ар

2 = 0,52 • 0,0625 + 2 • 0,5 • 0,5 • 0,00375 + 0,52 • 0,0225 = 0,023125.

Таким образом, риск доходности портфеля равен:

а Р =>/0,023125 «0,1521;

б) исходя из симметричности нормального распределения вероятностей,

найдем интервал уклонения доходности портфеля от

ее ожидаемого значения, задавшись уровнем значимости 0,9. Для

рассматриваемого портфеля математическое ожидание его доходности

составит:

^ = 0 , 5 - 12 + 0 , 5 - 8= 10%.

Согласно (6.8)

Вер(|^ - 10%| < 5) = 20(8/0,) = 0,9.

Пользуясь таблицей значений функции Лапласа Ф(х), найдем:

8 = 1,64 • аР = 0,2494 = 24,94%.

Тогда с вероятностью 0,9 данный портфель принесет доход в

интервале от -14,94% (10 - 24,94) до 34,94% (10 + 24,94). Таким

образом, при уровне значимости р = 0,9 + (1 — 0,9)/2 = 0,95 величина

при риске по показателю доходности WKKR - 14,94% (максимум

потерь). Откуда следует, что по величине начального капитала

VAR, = 14940 руб. Если считать относительно ожидаемой в

конце года прибыли М (П) = 0,1 • 100 000 = 10 000 руб., то потери

определят величину при риске относительно будущей стоимости

портфеля VAR/ y= 10000 + 14940 = 24940 руб. Ровно столько при

наихудшем стечении обстоятельств потеряет инвестор относительно

прогнозируемой им величины дохода при распродаже

портфеля.

2. Дюрация как мера чувствительности.

В настоящий момент облигация продается за 1000 руб. при

доходности 8%. Ее дюрация составляет 10 лет. Насколько изменится

цена этой облигации при увеличении доходности до 9%?

Р е ш е н и е

Согласно определению, дюрация:

/>- А Р / Р ,

Аг/(1 + г)

где Р — текущая стоимость потока платежей;

г — ставка дисконтирования.

По условию задачи:

2)= 10, Р = 1000, г = 8%, Аг = 1%.

Отсюда получим следующее уравнение относительно неизвестной

АР:

0 = АР 1 + 0,08

"1000" 0,01 '

и, следовательно, АР = 92,59 руб.

В результате измененная цена облигации приблизится к значению

Ртм ___________= 1000 - 92,59 * 907,4 руб.

3. Модель САРМ.

На идеальном финансовом рынке 10% по стоимости составляют

безрисковые бумаги и 90% — рисковые. Рисковых всего три:

первые составляют 1/6 их общей стоимости и их р = 0,8; вторые

— 1/3 и р = 1. Каковы эффективности и р всех рисковых бумаг,

средняя доходность тъ и коэффициент р 2 по всему рынку, если

средняя доходность по рисковым бумагам равна 8%, а безрисковая

ставка равна 4%?

Р е ш е н и е

Эффективности первых двух бумаг получим, используя уравнение

равновесного рынка (6.18):

7^ = 7,2%; т2= 8%.

Очевидно, что доля третьих бумаг равна половине стоимости

всех рисковых активов (1 — 1/6 — 1/3).

Доходность рисковой части рынка равна взвешенной доходности

ее компонент:

8% = 1/6 • 7,2% + 1/3 • 8% + 1/2 • /и3.

Отсюда получим эффективность третьей бумаги т3 = 124/15.

Чтобы найти ее «бета», воспользуемся формулой (6.18):

т3= 124/15 = 4 +р3 - ( 8 - 4 ) ,

и, следовательно, р3 = 16/15. Согласно условию задачи, 0,1 всего

рынка составляют безрисковые бумаги, поэтому средняя доходность

по всему рынку:

mz = 0,l - 4 + 0,9-8 = 7,6%.

Структура рисковой части рынка определяется долями хх =

1/6, х2 = 1/3, JC3 = 1/2. Поэтому ее «бета»:

РРиск= 1/6 • 0,8 + 1/3 - 1 + 1/2 • 16/15 = 1,

что согласуется с теоретическим положением: коэффициент «бета

» рыночного портфеля равен единице. Показатель «бета» для

рынка в целом определим с учетом доли безрисковых бумаг:

Pz = 0,9-Pp H C K=0,9.

4. Разложение риска на рыночный и индивидуальный.

Среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности рыночного

портфеля составляет 20%. Определить:

а) риск сильно диверсифицированного портфеля, если его

Р = 1.3;

б) риск сильно диверсифицированного портфеля с нулевым

значением Р;

в) р сильно диверсифицированного портфеля со стандартным

отклонением (СКО) в 15%;

г) р слабо диверсифицированного портфеля со стандартным

отклонением (риском), равным 20%.

Р е ш е н и е

Для решения следует использовать соотношение (6.20), имея

в виду, что у сильно диверсифицированного актива А индивидуальный

риск аА * 0. Отсюда следует, что для рассматриваемых в

первых трех вопросах портфелей их риск a L = Р • ас = р • 20%. Отсюда

получим следующие ответы:

а) a L = 26%;

б) о г = 0%;

B)P = ( a L = 15%)/20% = 0,75;

г) у слабо диверсифицированного портфеля Л индивидуальный

риск аА > 0, поэтому в разложении (6.20) присутствуют обе компоненты,

и, следовательно, a L > р - стс. Подставив в это неравенство

исходные данные из п. «г», получим, что 20 > р • 20, т.е. р < 1.

5. Касательный портфель.

Запишите модель (6.15) для п = 2 и найдите касательный

портфель при исходных данных:

/о= l%,ml = 2%,51 = 1%;т2 = 3%,52 = 2%;г1 2= 1/2.

Р е ш е н и е

Модель трехкомпонентного портфеля имеет вид

а2 = о2х2 + 2a1a2 r 1 2x1x2 + ст2

2х2

2 -» min

r0x0 + / n , x 1+w2x2 = /n/,

XQ "Ь XJ "T" X2

= 1

X0, Xj, X2 > 0

Согласно свойствам задачи (6.15), для любого портфеля на

прямолинейном участке эффективной траектории отношение

долей рисковых компонент будет таким же, как и у касательного

портфеля С. Отсюда понятно, что для определения этого портфеля

достаточно задаться такой правой частью тр, для которой в

оптимальном решении переменная х 0

о п т > 0. Тогда доли вложения

в касательном портфеле определятся в соответствии с правилом

пропорционального деления в отношении

„ опт . опт

* 1 • х2 >

т.е.

..опт „опт

•*„i — „о—пт , „опт лс2 — -.опт , „опт

Л J *Г Л 2 Л| -Г Л 2

Используя эти данные, найдем характеристики портфеля С:

/ис = mxxcl + m ^ , ac

2 - OjVс 1 + 2а1а2г1 2хс 1хс 2 + а2

2х2

с 2.

Решим поставленную задачу средствами Excel с помощью команды

Сервис. Поиск решения. Для этого введем следующие исходные

данные (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Принятые в модели

обозначения

ХО XI Х2 г0 ml т2 ст1 а2 г12

Ячейки электронной

таблицы

A3 ВЗ с з А6 В6 С6 В9 С9 А12

Исходные данные 0,5 0 0,5 1 2 3 1 2 0,5

В ячейку D13 введем функцию цели:

= ВЗА2*В9А2 4- СЗЛ2*С9Л2 + 2*ВЗ*СЗ*В9*С9*А12;

в ячейки А16, А17 введем левые части ограничений:

= А6*АЗ + В6*ВЗ + С6*СЗ;

= АЗ + В3 + С3,

а в ячейки D16, D17 — правые части ограничений, которые положим

равными результату, вычисленному в ячейках А16, А17 после

нажатия клавиши «Enter», т.е. числам 2 и 1.

Таким образом, процесс поиска решения начинается с допустимого

плана х0 = 0,5; хх = 0; х2 = 0,5 в сторону минимизации

портфельного риска с и при неизменных требованиях относительно

ожидаемой доходности тр = 2и единичного бюджета.

Для определения искомого портфеля С воспользуемся следующим

соответствием между предназначенными для его характеристик

ячейками и вводимыми в них формулами. Доли в касательном

портфеле представлены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

хс1 х с2

В21 С21

=ВЗ/СУММ(ВЗ:СЗ) =СЗ/СУММ(ВЗ:СЗ)

Ожидаемая доходность и риск касательного портфеля даны в

табл. 6.3.

Таблица 6.3

А25 В25

=В6*В21 +С6*С21 =(В2Г2*В9Л2 + С2Г2*С9Л2 +

2*В21*С21*В9*С9*А12)Л0,5

Чтобы перейти от допустимых значений переменных к их оптимальным

значениям, выберем команду Сервис. Поиск решения

и заполним открывшееся диалоговое окно «Поиск решения».

«Экранизация» ввода исходных данных и элементов формализации

модели, а также диалогового окна «Поиск решения» на

рабочем листе Excel имеет следующий вид (рис. 6.1).

После нажатия в открывшемся диалоговом окне на кнопку

Выполнить появляется окно «Результаты поиска решения», которое

сообщает, что решение найдено (рис. 6.2).

Таким образом, в оптимальном портфеле С на две стоимостные

единицы ценных бумаг первого вида должна приходиться

одна стоимостная единица бумаг второго вида ( х с 1 « 0,6667; х с 2«

» 0,3333). Ожидаемая от этого портфеля доходность тс& 2,33%, а

его р и с к а с « 1,15%.

6. Линии рынков капитала и ценных бумаг.

Предположим, что ставка процента по безрисковым инвестициям

равна 7%, а ожидаемая доходность вложений в рыночный

портфель составляет 10% при риске 2%.

1. Рассчитать ожидаемую доходность и риск портфеля, состоящего

на 0,6 из рыночного портфеля и на 0,4 из безопасных инвестиций.

2. При заданных условиях составить уравнения линии рынка

капитала и линии рынка ценных бумаг. Чему равны тангенсы углов

наклона каждой из линий?

3. Пусть имеется инвестиционный проект (предполагаются

инвестиции в ценные бумаги), ковариация доходности которого

с рыночной равна 0,00064. Определить коэффициент р, ожидаемую

требуемую рынком доходность этого проекта.

4. Если в настоящий момент ожидаемая доходность инвестиций

равна 0,15, то, что, по вашему мнению, должно произойти?

5. Если в настоящий момент ожидаемая доходность инвестиций

равна 0,1, а корреляция определяется условием 3, то как, по

. А Ы . J J

JL JLi

JL

JL

Ji

JL

2

Ж

Ж

Ж ш 5

J i

л

JB жж

п

Ж

ж.

ъ

xl

0 5000 0,3000 OS,5000

доходности ;

mono, ?дщ здга

OOOtib' 1ДЮ0 'ЗДХЮ

шяффждовкг шрраяяции

rT2

О 5000 ^ ^

функция це^и ; СЛ]Щ

Поиск решения

разной*. ' С %г#хт№#1&г? знамении* Г ^гмк»ш»т J?

Г^чинар ^ца^>,<~~—« • *~

ограничения

1ДОЮ

правый части ограничений ,

; 2ДюоГ

1ДЮ0

доли в касательном портфеле

h одою „ipan[

касательный портфель

т is t

3,00 2,00

3J Предп&л&^ип> { " 3 " Дэ&енть { Рис. 6.1. Исходные данные и диалоговое окно

; 1х;]|*ереценные

;2Ы *2

J - J L

: j h ^ o^qd ода; р.ЖЮ

I f ! 1

ml im2

2ДЮ01 здзш

ШДОСКМ ?

sO is1 Is2

J p ОДЮО tjDQOQf' Ч2ДХЮ

1Q ^коэффициент юэдвляцим

J2J о дао :

,13|фун*ция цели .

^Ограничений

1?! 1,0000

Ж !

ш касательном поргф$йе

21:} OJ6667 о,зззз

Ж!

Ш касательный портфель

.25! 2,33 1.15

яраше част ограничений

1,0000

н l „г l J l к ;

отчета

Результаты *|

УПСрТОсиЙдЧоИь*ВО СТЬ

j[, 4 Отмена , | 1 jjPRf'jgiL 1

Рис. 6.2. Результаты поиска решения

вашему мнению, будет изменяться курсовая стоимость объекта

вложений?

6. Чему равно значение р портфеля, в котором в равных долях

присутствует безрисковый актив и вложения в инвестиционный

проект(п.3)?

Р е ш е н и е

1. тр = 0,6 • 10 + 0,4 • 7 = 8,8%, ар = 0,6 • 2 = 1,2%.

2. В осях «доходность — риск» линия рынка капитала определяется

прямой, проходящей через две точки: одна из них соответствует

безрисковому активу (Г0 = 0,07; а = 0), другая - рыночно-

2/w 7

му портфелю (тс = 0,1; а с = 0,02): а = — - у ^ - .

Тангенс угла наклона этой линии к оси От равен 2/3. В осях

«коэффициент бета — доходность» линия рынка ценных бумаг

определяется прямой, проходящей через две точки: одна из них

соответствует безрисковому активу (Р = 0; Г0 = 0,07;), другая — рыночному

портфелю (РС = 1; тс= 0,1): т = 0,03р + 0,07. Тангенс угла

наклона этой линии к оси 0р равен 0,03.

3. Подставляя данные примера в формулу (6.18), найдем ожидаемую

доходность инвестиционного проекта:

^проекта^ 7% + 0,00064/0,022 • (10% - 7%) = 11,8%.

4. Согласно условию, фактическое значение ожидаемой доходности

отклоняется от теоретической оценки (6.18) на величину

коэффициента а = 0,15 — 0,118 > 0. Положительность этого

коэффициента свидетельствует о том, что объект инвестиций недооценен

и следует ожидать повышения его курсовой стоимости.

5. В этом случае коэффициент а = 0,1 — ОД 18 < 0 и поэтому

следует ожидать снижения курсовой стоимости.

6. Р портфеля равно взвешенной сумме показателей коэффициентов

р составляющих его активов: PNOJ^^ = 0,5 • 0 + 0,5 • 1,6 = 0,8.

Примечание. Выводы по п. 4 и 5 основаны на сравнении следующих

текущих стоимостей:

ТСт с о р = Р/(\ + 0,118), ТС4 = Р/(1 + 0,15), ТС5 =

= />/(1+0,1);ТС4<ТСт с о р<ТС5.

7. Рыночная модель.

Дисперсия доходности по индексу рынка равна 490, а ко-

вариация ценных бумаге и В — 470. Чему равняется «бета» цен-

ной бумаги В, если известно, что «бета» ценной бумаги А равняется

1,2?

Р е ш е н и е

По свойству (6.22) рыночной модели

WB $A-Vf 1,2-490

8. Платеж с поправкой на риск.

Инвестор анализирует целесообразность приобретения сроком

на один период акций А. Согласно прогнозам, в конце периода

на рынке ценных бумаг возможны две ситуации, и на каждую

из них акция А откликается неслучайным образом. Известны вероятности

этих исходов и соответствующие им значения случайной

эффективности рынка и случайного курса акции (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Исход Вероятности

Эффективность

рынка, Rc

Курс акции,Е

1

2

0,8

0,2

0,2

0,00

432

108

Пусть доходность г0 безрисковых ценных бумаг составляет

8%. Определить оценку теоретически справедливой текущей стоимости

акции А методом корректировки ожидаемого платежа.

Р е ш е н и е

Используя табличные данные, найдем математическое ожидание

и дисперсию рыночной доходности:

/ис = 0,8 -0,2 = 0,16;

с 2 = M(RC)2 - т2 = 0,8 • (0,2)2 - (0,16)2 = 0,0064.

После этого вычислим параметр X, учитывающий поправку

на риск в формуле безрискового эквивалента (6.24):

Л, = (0,16 • 0,08)/0,0064 = 12,5.

Для определения этого эквивалента найдем ковариацию рыночной

доходности Rc и случайного курса Е:

cov(￡, Rc) = М(Е - M(E)){RC - тс)9

где М(Е) = 0,8 • 432 + 0,2 • 108 = 367,2, тс = 0,16.

Очевидно, что

М(Е - M(E))(RC - тс) = М(Е • Яс) - М(Е) • тс.

На основании этого:

cov(￡, Rc) = (0,8 • 432 • 0,2 - 367,2 • 0,16) = 10,368.

Подставляя данное значение и величину X =12,5 в формулу

(6.24), получим величину скорректированного платежа:

^ с к о р . = 3 6 7 > 2 ~ 1 2>5 ' 1 0 > 3 6 8 = 3 6 7 > 2 - 1 29,6 = 237,6.

Дисконтируя ее по безрисковой ставке, придем к справедливой

цене:

ТС = ^ 6 = 2 2 0 .

1,08

Если текущий курс акции меньше 220, то ее следует покупать,

если же акция переоценена рынком, т.е. ее курсовая стоимость

превышает найденную нами оценку, от покупки лучше воздержаться.

Примечание. Найденной оценке соответствует теоретически справедливая

доходность акции RA = (E— TQ/TC, которая используется для расчетов

скорректированной ставки (6.23):

''скор =rQ+X- cov((E- 220)/220, Rc) = 0,08 + 12,5 • cov(￡, Лс)/220.

Согласно выполненным выше вычислениям, cov(￡, Rc) = 10,368 и, следовательно,

г с к о р = 0,08 + 12,5 • 10,368/220 » 0,6691. Дисконтируя ожидаемую

величину платежа М(Е) по этой ставке (по рыночной цене капитального актива),

получим тот же ответ, что и при решении задачи:

ТС = 367,2/1,6691 « 219,9988.

9. Процентная ставка с поправкой на риск.

Проект стоит 3 млн руб., рассчитан на 1 год с ожидаемой отдачей

в размере 4,5 млн руб. и имеет «бету», равную 2,0. Рыночная

премия за риск (гс - г0) составляет 8%, а текущая безрисковая

ставка равна 7%. Используя модель оценки долгосрочных активов

(6.18), найти:

а) альтернативные издержки;

б) приведенную стоимость проекта.

Р е ш е н и е

а) по формуле (6.23) альтернативная ставка

/•=7 + 2-8 = 23%;

б) дисконтируя по скорректированной с учетом риска ставке

г = 23%, получим приведенную стоимость проекта:

NPV= - 3 + 4,5/1,23 * 0,658536 млн руб.

1. Меры риска ценных бумаг.

В данный момент акции Aw В имеют курсовые стоимости 50

и 20 руб., а их ожидаемые доходности тА = 12%, тв = 8%. Инвестор

имеет 100 тыс. руб. и хочет приобрести эти акции, вложив в

каждый вид половину своего капитала. В конце года он собирается

их продать и получить прибыль. Определить:

а) риск каждой акции и портфеля в целом, если ковариационная

матрица доходностей (в виде десятичной дроби) будет

равна:

(0,06250 0,00375 \

А В " [о,00375 0,02250 /

б) характеристику VAR, основанную на нормальном распределении

и оценивающую максимально возможные потери капитала

по уровню значимости 95%.

Р е ш е н и е

а) риск акции определяется величиной СКО ее доходности:

аА =^0,0625=0,25; ав = Л/0,0225 =0,15.

Чтобы найти риск портфеля ар, воспользуемся формулой дисперсии

суммы:

Rp = XARA + * А ,

где R — доходность, х - доля вкладываемого капитала:

ар

2 = хА

2аА

2 + 2x^cBcov(RA, RB) + Xb2GB

2.

Согласно условию

ХА = ХВ = °>5> А C O V (RA> RB) = 0,00375,

и, следовательно,

ар

2 = 0,52 • 0,0625 + 2 • 0,5 • 0,5 • 0,00375 + 0,52 • 0,0225 = 0,023125.

Таким образом, риск доходности портфеля равен:

а Р =>/0,023125 «0,1521;

б) исходя из симметричности нормального распределения вероятностей,

найдем интервал уклонения доходности портфеля от

ее ожидаемого значения, задавшись уровнем значимости 0,9. Для

рассматриваемого портфеля математическое ожидание его доходности

составит:

^ = 0 , 5 - 12 + 0 , 5 - 8= 10%.

Согласно (6.8)

Вер(|^ - 10%| < 5) = 20(8/0,) = 0,9.

Пользуясь таблицей значений функции Лапласа Ф(х), найдем:

8 = 1,64 • аР = 0,2494 = 24,94%.

Тогда с вероятностью 0,9 данный портфель принесет доход в

интервале от -14,94% (10 - 24,94) до 34,94% (10 + 24,94). Таким

образом, при уровне значимости р = 0,9 + (1 — 0,9)/2 = 0,95 величина

при риске по показателю доходности WKKR - 14,94% (максимум

потерь). Откуда следует, что по величине начального капитала

VAR, = 14940 руб. Если считать относительно ожидаемой в

конце года прибыли М (П) = 0,1 • 100 000 = 10 000 руб., то потери

определят величину при риске относительно будущей стоимости

портфеля VAR/ y= 10000 + 14940 = 24940 руб. Ровно столько при

наихудшем стечении обстоятельств потеряет инвестор относительно

прогнозируемой им величины дохода при распродаже

портфеля.

2. Дюрация как мера чувствительности.

В настоящий момент облигация продается за 1000 руб. при

доходности 8%. Ее дюрация составляет 10 лет. Насколько изменится

цена этой облигации при увеличении доходности до 9%?

Р е ш е н и е

Согласно определению, дюрация:

/>- А Р / Р ,

Аг/(1 + г)

где Р — текущая стоимость потока платежей;

г — ставка дисконтирования.

По условию задачи:

2)= 10, Р = 1000, г = 8%, Аг = 1%.

Отсюда получим следующее уравнение относительно неизвестной

АР:

0 = АР 1 + 0,08

"1000" 0,01 '

и, следовательно, АР = 92,59 руб.

В результате измененная цена облигации приблизится к значению

Ртм ___________= 1000 - 92,59 * 907,4 руб.

3. Модель САРМ.

На идеальном финансовом рынке 10% по стоимости составляют

безрисковые бумаги и 90% — рисковые. Рисковых всего три:

первые составляют 1/6 их общей стоимости и их р = 0,8; вторые

— 1/3 и р = 1. Каковы эффективности и р всех рисковых бумаг,

средняя доходность тъ и коэффициент р 2 по всему рынку, если

средняя доходность по рисковым бумагам равна 8%, а безрисковая

ставка равна 4%?

Р е ш е н и е

Эффективности первых двух бумаг получим, используя уравнение

равновесного рынка (6.18):

7^ = 7,2%; т2= 8%.

Очевидно, что доля третьих бумаг равна половине стоимости

всех рисковых активов (1 — 1/6 — 1/3).

Доходность рисковой части рынка равна взвешенной доходности

ее компонент:

8% = 1/6 • 7,2% + 1/3 • 8% + 1/2 • /и3.

Отсюда получим эффективность третьей бумаги т3 = 124/15.

Чтобы найти ее «бета», воспользуемся формулой (6.18):

т3= 124/15 = 4 +р3 - ( 8 - 4 ) ,

и, следовательно, р3 = 16/15. Согласно условию задачи, 0,1 всего

рынка составляют безрисковые бумаги, поэтому средняя доходность

по всему рынку:

mz = 0,l - 4 + 0,9-8 = 7,6%.

Структура рисковой части рынка определяется долями хх =

1/6, х2 = 1/3, JC3 = 1/2. Поэтому ее «бета»:

РРиск= 1/6 • 0,8 + 1/3 - 1 + 1/2 • 16/15 = 1,

что согласуется с теоретическим положением: коэффициент «бета

» рыночного портфеля равен единице. Показатель «бета» для

рынка в целом определим с учетом доли безрисковых бумаг:

Pz = 0,9-Pp H C K=0,9.

4. Разложение риска на рыночный и индивидуальный.

Среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности рыночного

портфеля составляет 20%. Определить:

а) риск сильно диверсифицированного портфеля, если его

Р = 1.3;

б) риск сильно диверсифицированного портфеля с нулевым

значением Р;

в) р сильно диверсифицированного портфеля со стандартным

отклонением (СКО) в 15%;

г) р слабо диверсифицированного портфеля со стандартным

отклонением (риском), равным 20%.

Р е ш е н и е

Для решения следует использовать соотношение (6.20), имея

в виду, что у сильно диверсифицированного актива А индивидуальный

риск аА * 0. Отсюда следует, что для рассматриваемых в

первых трех вопросах портфелей их риск a L = Р • ас = р • 20%. Отсюда

получим следующие ответы:

а) a L = 26%;

б) о г = 0%;

B)P = ( a L = 15%)/20% = 0,75;

г) у слабо диверсифицированного портфеля Л индивидуальный

риск аА > 0, поэтому в разложении (6.20) присутствуют обе компоненты,

и, следовательно, a L > р - стс. Подставив в это неравенство

исходные данные из п. «г», получим, что 20 > р • 20, т.е. р < 1.

5. Касательный портфель.

Запишите модель (6.15) для п = 2 и найдите касательный

портфель при исходных данных:

/о= l%,ml = 2%,51 = 1%;т2 = 3%,52 = 2%;г1 2= 1/2.

Р е ш е н и е

Модель трехкомпонентного портфеля имеет вид

а2 = о2х2 + 2a1a2 r 1 2x1x2 + ст2

2х2

2 -» min

r0x0 + / n , x 1+w2x2 = /n/,

XQ "Ь XJ "T" X2

= 1

X0, Xj, X2 > 0

Согласно свойствам задачи (6.15), для любого портфеля на

прямолинейном участке эффективной траектории отношение

долей рисковых компонент будет таким же, как и у касательного

портфеля С. Отсюда понятно, что для определения этого портфеля

достаточно задаться такой правой частью тр, для которой в

оптимальном решении переменная х 0

о п т > 0. Тогда доли вложения

в касательном портфеле определятся в соответствии с правилом

пропорционального деления в отношении

„ опт . опт

* 1 • х2 >

т.е.

..опт „опт

•*„i — „о—пт , „опт лс2 — -.опт , „опт

Л J *Г Л 2 Л| -Г Л 2

Используя эти данные, найдем характеристики портфеля С:

/ис = mxxcl + m ^ , ac

2 - OjVс 1 + 2а1а2г1 2хс 1хс 2 + а2

2х2

с 2.

Решим поставленную задачу средствами Excel с помощью команды

Сервис. Поиск решения. Для этого введем следующие исходные

данные (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Принятые в модели

обозначения

ХО XI Х2 г0 ml т2 ст1 а2 г12

Ячейки электронной

таблицы

A3 ВЗ с з А6 В6 С6 В9 С9 А12

Исходные данные 0,5 0 0,5 1 2 3 1 2 0,5

В ячейку D13 введем функцию цели:

= ВЗА2*В9А2 4- СЗЛ2*С9Л2 + 2*ВЗ*СЗ*В9*С9*А12;

в ячейки А16, А17 введем левые части ограничений:

= А6*АЗ + В6*ВЗ + С6*СЗ;

= АЗ + В3 + С3,

а в ячейки D16, D17 — правые части ограничений, которые положим

равными результату, вычисленному в ячейках А16, А17 после

нажатия клавиши «Enter», т.е. числам 2 и 1.

Таким образом, процесс поиска решения начинается с допустимого

плана х0 = 0,5; хх = 0; х2 = 0,5 в сторону минимизации

портфельного риска с и при неизменных требованиях относительно

ожидаемой доходности тр = 2и единичного бюджета.

Для определения искомого портфеля С воспользуемся следующим

соответствием между предназначенными для его характеристик

ячейками и вводимыми в них формулами. Доли в касательном

портфеле представлены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

хс1 х с2

В21 С21

=ВЗ/СУММ(ВЗ:СЗ) =СЗ/СУММ(ВЗ:СЗ)

Ожидаемая доходность и риск касательного портфеля даны в

табл. 6.3.

Таблица 6.3

А25 В25

=В6*В21 +С6*С21 =(В2Г2*В9Л2 + С2Г2*С9Л2 +

2*В21*С21*В9*С9*А12)Л0,5

Чтобы перейти от допустимых значений переменных к их оптимальным

значениям, выберем команду Сервис. Поиск решения

и заполним открывшееся диалоговое окно «Поиск решения».

«Экранизация» ввода исходных данных и элементов формализации

модели, а также диалогового окна «Поиск решения» на

рабочем листе Excel имеет следующий вид (рис. 6.1).

После нажатия в открывшемся диалоговом окне на кнопку

Выполнить появляется окно «Результаты поиска решения», которое

сообщает, что решение найдено (рис. 6.2).

Таким образом, в оптимальном портфеле С на две стоимостные

единицы ценных бумаг первого вида должна приходиться

одна стоимостная единица бумаг второго вида ( х с 1 « 0,6667; х с 2«

» 0,3333). Ожидаемая от этого портфеля доходность тс& 2,33%, а

его р и с к а с « 1,15%.

6. Линии рынков капитала и ценных бумаг.

Предположим, что ставка процента по безрисковым инвестициям

равна 7%, а ожидаемая доходность вложений в рыночный

портфель составляет 10% при риске 2%.

1. Рассчитать ожидаемую доходность и риск портфеля, состоящего

на 0,6 из рыночного портфеля и на 0,4 из безопасных инвестиций.

2. При заданных условиях составить уравнения линии рынка

капитала и линии рынка ценных бумаг. Чему равны тангенсы углов

наклона каждой из линий?

3. Пусть имеется инвестиционный проект (предполагаются

инвестиции в ценные бумаги), ковариация доходности которого

с рыночной равна 0,00064. Определить коэффициент р, ожидаемую

требуемую рынком доходность этого проекта.

4. Если в настоящий момент ожидаемая доходность инвестиций

равна 0,15, то, что, по вашему мнению, должно произойти?

5. Если в настоящий момент ожидаемая доходность инвестиций

равна 0,1, а корреляция определяется условием 3, то как, по

. А Ы . J J

JL JLi

JL

JL

Ji

JL

2

Ж

Ж

Ж ш 5

J i

л

JB жж

п

Ж

ж.

ъ

xl

0 5000 0,3000 OS,5000

доходности ;

mono, ?дщ здга

OOOtib' 1ДЮ0 'ЗДХЮ

шяффждовкг шрраяяции

rT2

О 5000 ^ ^

функция це^и ; СЛ]Щ

Поиск решения

разной*. ' С %г#хт№#1&г? знамении* Г ^гмк»ш»т J?

Г^чинар ^ца^>,<~~—« • *~

ограничения

1ДОЮ

правый части ограничений ,

; 2ДюоГ

1ДЮ0

доли в касательном портфеле

h одою „ipan[

касательный портфель

т is t

3,00 2,00

3J Предп&л&^ип> { " 3 " Дэ&енть { Рис. 6.1. Исходные данные и диалоговое окно

; 1х;]|*ереценные

;2Ы *2

J - J L

: j h ^ o^qd ода; р.ЖЮ

I f ! 1

ml im2

2ДЮ01 здзш

ШДОСКМ ?

sO is1 Is2

J p ОДЮО tjDQOQf' Ч2ДХЮ

1Q ^коэффициент юэдвляцим

J2J о дао :

,13|фун*ция цели .

^Ограничений

1?! 1,0000

Ж !

ш касательном поргф$йе

21:} OJ6667 о,зззз

Ж!

Ш касательный портфель

.25! 2,33 1.15

яраше част ограничений

1,0000

н l „г l J l к ;

отчета

Результаты *|

УПСрТОсиЙдЧоИь*ВО СТЬ

j[, 4 Отмена , | 1 jjPRf'jgiL 1

Рис. 6.2. Результаты поиска решения

вашему мнению, будет изменяться курсовая стоимость объекта

вложений?

6. Чему равно значение р портфеля, в котором в равных долях

присутствует безрисковый актив и вложения в инвестиционный

проект(п.3)?

Р е ш е н и е

1. тр = 0,6 • 10 + 0,4 • 7 = 8,8%, ар = 0,6 • 2 = 1,2%.

2. В осях «доходность — риск» линия рынка капитала определяется

прямой, проходящей через две точки: одна из них соответствует

безрисковому активу (Г0 = 0,07; а = 0), другая - рыночно-

2/w 7

му портфелю (тс = 0,1; а с = 0,02): а = — - у ^ - .

Тангенс угла наклона этой линии к оси От равен 2/3. В осях

«коэффициент бета — доходность» линия рынка ценных бумаг

определяется прямой, проходящей через две точки: одна из них

соответствует безрисковому активу (Р = 0; Г0 = 0,07;), другая — рыночному

портфелю (РС = 1; тс= 0,1): т = 0,03р + 0,07. Тангенс угла

наклона этой линии к оси 0р равен 0,03.

3. Подставляя данные примера в формулу (6.18), найдем ожидаемую

доходность инвестиционного проекта:

^проекта^ 7% + 0,00064/0,022 • (10% - 7%) = 11,8%.

4. Согласно условию, фактическое значение ожидаемой доходности

отклоняется от теоретической оценки (6.18) на величину

коэффициента а = 0,15 — 0,118 > 0. Положительность этого

коэффициента свидетельствует о том, что объект инвестиций недооценен

и следует ожидать повышения его курсовой стоимости.

5. В этом случае коэффициент а = 0,1 — ОД 18 < 0 и поэтому

следует ожидать снижения курсовой стоимости.

6. Р портфеля равно взвешенной сумме показателей коэффициентов

р составляющих его активов: PNOJ^^ = 0,5 • 0 + 0,5 • 1,6 = 0,8.

Примечание. Выводы по п. 4 и 5 основаны на сравнении следующих

текущих стоимостей:

ТСт с о р = Р/(\ + 0,118), ТС4 = Р/(1 + 0,15), ТС5 =

= />/(1+0,1);ТС4<ТСт с о р<ТС5.

7. Рыночная модель.

Дисперсия доходности по индексу рынка равна 490, а ко-

вариация ценных бумаге и В — 470. Чему равняется «бета» цен-

ной бумаги В, если известно, что «бета» ценной бумаги А равняется

1,2?

Р е ш е н и е

По свойству (6.22) рыночной модели

WB $A-Vf 1,2-490

8. Платеж с поправкой на риск.

Инвестор анализирует целесообразность приобретения сроком

на один период акций А. Согласно прогнозам, в конце периода

на рынке ценных бумаг возможны две ситуации, и на каждую

из них акция А откликается неслучайным образом. Известны вероятности

этих исходов и соответствующие им значения случайной

эффективности рынка и случайного курса акции (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Исход Вероятности

Эффективность

рынка, Rc

Курс акции,Е

1

2

0,8

0,2

0,2

0,00

432

108

Пусть доходность г0 безрисковых ценных бумаг составляет

8%. Определить оценку теоретически справедливой текущей стоимости

акции А методом корректировки ожидаемого платежа.

Р е ш е н и е

Используя табличные данные, найдем математическое ожидание

и дисперсию рыночной доходности:

/ис = 0,8 -0,2 = 0,16;

с 2 = M(RC)2 - т2 = 0,8 • (0,2)2 - (0,16)2 = 0,0064.

После этого вычислим параметр X, учитывающий поправку

на риск в формуле безрискового эквивалента (6.24):

Л, = (0,16 • 0,08)/0,0064 = 12,5.

Для определения этого эквивалента найдем ковариацию рыночной

доходности Rc и случайного курса Е:

cov(￡, Rc) = М(Е - M(E)){RC - тс)9

где М(Е) = 0,8 • 432 + 0,2 • 108 = 367,2, тс = 0,16.

Очевидно, что

М(Е - M(E))(RC - тс) = М(Е • Яс) - М(Е) • тс.

На основании этого:

cov(￡, Rc) = (0,8 • 432 • 0,2 - 367,2 • 0,16) = 10,368.

Подставляя данное значение и величину X =12,5 в формулу

(6.24), получим величину скорректированного платежа:

^ с к о р . = 3 6 7 > 2 ~ 1 2>5 ' 1 0 > 3 6 8 = 3 6 7 > 2 - 1 29,6 = 237,6.

Дисконтируя ее по безрисковой ставке, придем к справедливой

цене:

ТС = ^ 6 = 2 2 0 .

1,08

Если текущий курс акции меньше 220, то ее следует покупать,

если же акция переоценена рынком, т.е. ее курсовая стоимость

превышает найденную нами оценку, от покупки лучше воздержаться.

Примечание. Найденной оценке соответствует теоретически справедливая

доходность акции RA = (E— TQ/TC, которая используется для расчетов

скорректированной ставки (6.23):

''скор =rQ+X- cov((E- 220)/220, Rc) = 0,08 + 12,5 • cov(￡, Лс)/220.

Согласно выполненным выше вычислениям, cov(￡, Rc) = 10,368 и, следовательно,

г с к о р = 0,08 + 12,5 • 10,368/220 » 0,6691. Дисконтируя ожидаемую

величину платежа М(Е) по этой ставке (по рыночной цене капитального актива),

получим тот же ответ, что и при решении задачи:

ТС = 367,2/1,6691 « 219,9988.

9. Процентная ставка с поправкой на риск.

Проект стоит 3 млн руб., рассчитан на 1 год с ожидаемой отдачей

в размере 4,5 млн руб. и имеет «бету», равную 2,0. Рыночная

премия за риск (гс - г0) составляет 8%, а текущая безрисковая

ставка равна 7%. Используя модель оценки долгосрочных активов

(6.18), найти:

а) альтернативные издержки;

б) приведенную стоимость проекта.

Р е ш е н и е

а) по формуле (6.23) альтернативная ставка

/•=7 + 2-8 = 23%;

б) дисконтируя по скорректированной с учетом риска ставке

г = 23%, получим приведенную стоимость проекта:

NPV= - 3 + 4,5/1,23 * 0,658536 млн руб.