1 . 1 . Основные понятия и формулы

Правила приведения во времени. Согласно принципу временной

неравноценности денег равновеликие, но разновременные денежные

суммы оцениваются по-разному. Это свойство финансовых

сопоставлений лежит в основе правил приведения денег во времени.

В будущем денежные эквиваленты увеличиваются и отвечающие

им суммы рассчитываются по формулам наращения. «Попятное

» движение сопровождается снижением равноценных выплат,

для определения которых используют формулы дисконтирования.

Общим правилам наращения и дисконтирования для произвольного

срока предпошлем частный случай приведения на единичном

периоде. В зависимости оттого, величина какого из концевых

платежей считается базовой, т. е. принимается за 100%,

различают два варианта: 1) приведение по ставке начисления; 2)

приведение соответственно ставке удержания процентов.

В а р и а н т 1.

Пусть в качестве базовой рассматривается величина Р0 в начале

периода. Тогда ставкой приведения г% считается ставка начисления

процента, т. е. тот процент, на который увеличится начальная

сумма Р0 за один период. В результате наращенная за один

период сумма Р{ составит величину:

/*=/Ь(1+щ) = Р0<1+0,

где / = * j ^ " — дробное измерение ставки.

Дисконтирование по этой ставке, называемой в этой связи

еще и ставкой дисконтирования, заключается в приведении

поздней выплаты Р{ к предшествующему эквиваленту Р0:

р—5-

В а р и а н т 2.

Пусть за базовую принята величина Р{ в конце периода. Тогда

ставкой приведения q% является ставка удержания процентов, ее

еще называют учетной ставкой, т. е. тот процент, на который

уменьшится финальная сумма Рх на один период «назад». В этом

случае процедура дисконтирования определяется формулой

Рп = Pi (1 ——) = Р\ (1 —У),

где j = -У— - дробное измерение ставки.

Наращение по этой ставке, называемой еще ставкой наращения

по учетному проценту, заключается в приведении ранней

выплаты Р0 к последующему эквиваленту Рх\

По отношению к другим периодам («вперед» или «назад»)

формулы приведения определяются принятым правилом начисления

(удержания) процентов: простых или сложных.

Согласно простым процентам приросты (удержания) денежных

сумм на любом периоде составляют одну и ту же долю базовой

величины. Отсюда получаются следующие формулы простых

процентов:

Рп = Р0(\ + ni) - наращение по простому проценту;

PQ = —Ей— _ дисконтирование по простому проценту;

+ (1.1)

Р„ =——— - наращение по учетной ставке простого процента;

= ~~ nJ)"~ дисконтирование по учетной ставке простого процента.

Для сложных процентов одна и та же ставка берется не от базовой

величины, а от результата предыдущего во времени приведения.

В результате придем к формулам сложных процентов:

Р„ = P0(l + if — наращение по сложному проценту;

дисконтирование по сложному проценту;

(1.2)

наращение по учетной ставке сложного процента;

Р0 — Рп{\ — jf — дисконтирование по учетной ставке сложного процента.

Коэффициенты приведения денежных сумм в (1.1) и (1.2) называют

множителем наращения \{п\ /) и дисконтным множителем

у(я; /), а промежуток приведения п измеряют в долях единичного

периода, например года.

Приведение в «дробном» времени. Начисление процентов за

дробное число лет может выполняться двумя методами:

1) по формуле сложных процентов:

S=P0(\+if + b;

2) смешанным методом:

S=P0 ( l + 0 eO+W).

В этих формулах (а + Ь) — период приведения, а — целое число

лет, Ъ - дробная часть года.

Правила приведения в непрерывном времени. В практических

расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты,

начисляемые за фиксированный промежуток времени

(год, полугодие, квартал и т.д.). В некоторых случаях — для экономического

анализа и в расчетах, связанных с непрерывными процессами,

в математическом моделировании, а иногда и на практике

— возникает необходимость в применении непрерывных

процентов.

Правилу начисления по непрерывной ставке сложного процента

отвечает такое изменение наращиваемой суммы S(t), при

котором ее «привес» — процентные деньги за малый промежуток

А/ - будет пропорционален длине этого промежутка и денежной

сумме на его начало с коэффициентом пропорциональности 8:

S(t + АО - S(t) = SS(t)At.

(1 + /)я

Ро

О-УГ

Этому соотношению в непрерывном времени соответствует

дифференциальное уравнение

at

с начальным условием 5(0) = 50 . Откуда получим следующие

формулы наращения и дисконтирования:

5(0 = V U 0 = S(0e-5 '. (1.3)

Процентная ставка 5 при непрерывном наращении имеет

особое название — силы роста.

Согласно правилу простого процента непрерывно начисляемые

проценты пропорциональны длительности времени начисления

At и начальной сумме 5(0) = 5 0 , т.е.

5(Г + Д 0 - 5 ( 0 = 55(0)Д*.

Предельным переходом при At -» 0, получим

— = 85(0).

Л

Решая-это уравнение при условии 5 0 , придем к формуле непрерывного

наращения по простому проценту:

5(0 = 50(1 + 80.

Эквивалентные процентные ставки. Эффективная ставка. Пусть

разнородные процентные ставки (простая, сложная, учетная и

т. д.) в конкретных условиях сделки приводят к одному и тому же

финансовому результату. В этом случае они являются эквивалентными.

Принцип эквивалентности ставок лежит в основе многих

методов количественного финансового анализа. В частности, он

позволяет перейти к единообразному показателю для сопоставимого

оценивания эффективности финансовых операций.

В качестве такого показателя широко используют эффективную

ставку, которая оценивает финансовую операцию годовой

ставкой сложных процентов. Иначе говоря, эффективной став-

кой ref называется годичная ставка сложных процентов, дающая

то же соотношение между исходной суммой S0 и результирующей

суммой 5 Х , которая получена при любой схеме выплат. Формула

эффективной ставки следует из этого определения:

S0(l+re/)T=ST.

Откуда

]_

Т ~ 1 ' (1.4)

где Т— время (в годах), за которое получен доход.

Согласно схеме /я-кратной капитализации на первоначальную

сумму S0 в течение года начисляются проценты по годовой

ставке /, причем число периодов начисления равно /и. Будучи

продолжено на Глет, такое реинвестирование даст результат

ST=S0(l +i/m)mT.

Отсюда, пользуясь определением эффективной ставки, найдем

ее зависимость от номинальной ставки /:

г =(1+JL)«-1. (1.5)

J т

Таким образом, эффективная ставка измеряет тот относительный

доход (ST= i — S0)/SQ, который может быть получен в целом

за год, т.е. сторонам безразлично, применять ли ставку / при

начислении процентов т раз в год или годовую ставку ref — и та и

другая эквивалентны в финансовом отношении. Заметим, что

при увеличении частоты капитализации т период начисления

становится все меньше и мы приближаемся к непрерывному наращению

процентов. В пределе при т, стремящемся к бесконечности,

получим формулы непрерывного приведения (1.3) с силой

роста 5, равной номинальной ставке / (8 == /). Пользуясь определением

(1.4), найдем эффективную ставку, эквивалентную непрерывному

наращению с силой роста 8: / у = еъ — 1. Отсюда следует^

что 6 = ln(/yf 1), т. е. операция приведения (дисконтирования,

нарашения) на п периодов по сложному проценту со ставкой

ref равносильна приведению в непрерывном времени с силой

роста 5.

Наращение процентов и инфляция. Инфляция проявляется в

росте цен Pt и может измеряться темпом их прироста г, а также

периодом Г, за который они удвоятся. Первый показатель называют

темпом инфляции. Он характеризует относительное изменение

цены за один период:

Отсюда следует возможность описания роста цен правилом

сложных процентов. Так, при сохраняющемся темпе инфляции

/>,= />0(1+г)'.

Определим число лет Г, необходимых для двукратного подорожания.

В этом случае

2 = ( 1 + г ) г

г _ 1 п 2 1001п2

г г%

Для грубых прикидок числа лет удвоения можно воспользоваться

правилом числа 70:

70 70 (1>6)

темп инфляции в процентах г%

Это правило получается из формулы удвоения заменой 1п2 его

приближенным значением: 1п2 » 0,7. Очевидно, что данные формулы

можно использовать и для отрицательного темпа (г < 0),

т. е. когда имеет место не прирост, а снижение.

В финансовой практике инфляцию учитывают, корректируя

ставку начисления процентов таким образом, чтобы компенси-

ровать обесценивание наращенной суммы из-за роста цен. Чтобы

номинальная ставка J при годовой инфляции г соответствовала

реальной ставке /, она должна удовлетворять условию

У=/ + г+/г. (1.7)

При невысокой инфляции произведением в формуле (1.7)

можно пренебречь. В этом случае поправка на инфляцию ограничивается

величиной темпа г, и ставку корректируют по формуле

+ Л (1.8)

Правила приведения во времени. Согласно принципу временной

неравноценности денег равновеликие, но разновременные денежные

суммы оцениваются по-разному. Это свойство финансовых

сопоставлений лежит в основе правил приведения денег во времени.

В будущем денежные эквиваленты увеличиваются и отвечающие

им суммы рассчитываются по формулам наращения. «Попятное

» движение сопровождается снижением равноценных выплат,

для определения которых используют формулы дисконтирования.

Общим правилам наращения и дисконтирования для произвольного

срока предпошлем частный случай приведения на единичном

периоде. В зависимости оттого, величина какого из концевых

платежей считается базовой, т. е. принимается за 100%,

различают два варианта: 1) приведение по ставке начисления; 2)

приведение соответственно ставке удержания процентов.

В а р и а н т 1.

Пусть в качестве базовой рассматривается величина Р0 в начале

периода. Тогда ставкой приведения г% считается ставка начисления

процента, т. е. тот процент, на который увеличится начальная

сумма Р0 за один период. В результате наращенная за один

период сумма Р{ составит величину:

/*=/Ь(1+щ) = Р0<1+0,

где / = * j ^ " — дробное измерение ставки.

Дисконтирование по этой ставке, называемой в этой связи

еще и ставкой дисконтирования, заключается в приведении

поздней выплаты Р{ к предшествующему эквиваленту Р0:

р—5-

В а р и а н т 2.

Пусть за базовую принята величина Р{ в конце периода. Тогда

ставкой приведения q% является ставка удержания процентов, ее

еще называют учетной ставкой, т. е. тот процент, на который

уменьшится финальная сумма Рх на один период «назад». В этом

случае процедура дисконтирования определяется формулой

Рп = Pi (1 ——) = Р\ (1 —У),

где j = -У— - дробное измерение ставки.

Наращение по этой ставке, называемой еще ставкой наращения

по учетному проценту, заключается в приведении ранней

выплаты Р0 к последующему эквиваленту Рх\

По отношению к другим периодам («вперед» или «назад»)

формулы приведения определяются принятым правилом начисления

(удержания) процентов: простых или сложных.

Согласно простым процентам приросты (удержания) денежных

сумм на любом периоде составляют одну и ту же долю базовой

величины. Отсюда получаются следующие формулы простых

процентов:

Рп = Р0(\ + ni) - наращение по простому проценту;

PQ = —Ей— _ дисконтирование по простому проценту;

+ (1.1)

Р„ =——— - наращение по учетной ставке простого процента;

= ~~ nJ)"~ дисконтирование по учетной ставке простого процента.

Для сложных процентов одна и та же ставка берется не от базовой

величины, а от результата предыдущего во времени приведения.

В результате придем к формулам сложных процентов:

Р„ = P0(l + if — наращение по сложному проценту;

дисконтирование по сложному проценту;

(1.2)

наращение по учетной ставке сложного процента;

Р0 — Рп{\ — jf — дисконтирование по учетной ставке сложного процента.

Коэффициенты приведения денежных сумм в (1.1) и (1.2) называют

множителем наращения \{п\ /) и дисконтным множителем

у(я; /), а промежуток приведения п измеряют в долях единичного

периода, например года.

Приведение в «дробном» времени. Начисление процентов за

дробное число лет может выполняться двумя методами:

1) по формуле сложных процентов:

S=P0(\+if + b;

2) смешанным методом:

S=P0 ( l + 0 eO+W).

В этих формулах (а + Ь) — период приведения, а — целое число

лет, Ъ - дробная часть года.

Правила приведения в непрерывном времени. В практических

расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты,

начисляемые за фиксированный промежуток времени

(год, полугодие, квартал и т.д.). В некоторых случаях — для экономического

анализа и в расчетах, связанных с непрерывными процессами,

в математическом моделировании, а иногда и на практике

— возникает необходимость в применении непрерывных

процентов.

Правилу начисления по непрерывной ставке сложного процента

отвечает такое изменение наращиваемой суммы S(t), при

котором ее «привес» — процентные деньги за малый промежуток

А/ - будет пропорционален длине этого промежутка и денежной

сумме на его начало с коэффициентом пропорциональности 8:

S(t + АО - S(t) = SS(t)At.

(1 + /)я

Ро

О-УГ

Этому соотношению в непрерывном времени соответствует

дифференциальное уравнение

at

с начальным условием 5(0) = 50 . Откуда получим следующие

формулы наращения и дисконтирования:

5(0 = V U 0 = S(0e-5 '. (1.3)

Процентная ставка 5 при непрерывном наращении имеет

особое название — силы роста.

Согласно правилу простого процента непрерывно начисляемые

проценты пропорциональны длительности времени начисления

At и начальной сумме 5(0) = 5 0 , т.е.

5(Г + Д 0 - 5 ( 0 = 55(0)Д*.

Предельным переходом при At -» 0, получим

— = 85(0).

Л

Решая-это уравнение при условии 5 0 , придем к формуле непрерывного

наращения по простому проценту:

5(0 = 50(1 + 80.

Эквивалентные процентные ставки. Эффективная ставка. Пусть

разнородные процентные ставки (простая, сложная, учетная и

т. д.) в конкретных условиях сделки приводят к одному и тому же

финансовому результату. В этом случае они являются эквивалентными.

Принцип эквивалентности ставок лежит в основе многих

методов количественного финансового анализа. В частности, он

позволяет перейти к единообразному показателю для сопоставимого

оценивания эффективности финансовых операций.

В качестве такого показателя широко используют эффективную

ставку, которая оценивает финансовую операцию годовой

ставкой сложных процентов. Иначе говоря, эффективной став-

кой ref называется годичная ставка сложных процентов, дающая

то же соотношение между исходной суммой S0 и результирующей

суммой 5 Х , которая получена при любой схеме выплат. Формула

эффективной ставки следует из этого определения:

S0(l+re/)T=ST.

Откуда

]_

Т ~ 1 ' (1.4)

где Т— время (в годах), за которое получен доход.

Согласно схеме /я-кратной капитализации на первоначальную

сумму S0 в течение года начисляются проценты по годовой

ставке /, причем число периодов начисления равно /и. Будучи

продолжено на Глет, такое реинвестирование даст результат

ST=S0(l +i/m)mT.

Отсюда, пользуясь определением эффективной ставки, найдем

ее зависимость от номинальной ставки /:

г =(1+JL)«-1. (1.5)

J т

Таким образом, эффективная ставка измеряет тот относительный

доход (ST= i — S0)/SQ, который может быть получен в целом

за год, т.е. сторонам безразлично, применять ли ставку / при

начислении процентов т раз в год или годовую ставку ref — и та и

другая эквивалентны в финансовом отношении. Заметим, что

при увеличении частоты капитализации т период начисления

становится все меньше и мы приближаемся к непрерывному наращению

процентов. В пределе при т, стремящемся к бесконечности,

получим формулы непрерывного приведения (1.3) с силой

роста 5, равной номинальной ставке / (8 == /). Пользуясь определением

(1.4), найдем эффективную ставку, эквивалентную непрерывному

наращению с силой роста 8: / у = еъ — 1. Отсюда следует^

что 6 = ln(/yf 1), т. е. операция приведения (дисконтирования,

нарашения) на п периодов по сложному проценту со ставкой

ref равносильна приведению в непрерывном времени с силой

роста 5.

Наращение процентов и инфляция. Инфляция проявляется в

росте цен Pt и может измеряться темпом их прироста г, а также

периодом Г, за который они удвоятся. Первый показатель называют

темпом инфляции. Он характеризует относительное изменение

цены за один период:

Отсюда следует возможность описания роста цен правилом

сложных процентов. Так, при сохраняющемся темпе инфляции

/>,= />0(1+г)'.

Определим число лет Г, необходимых для двукратного подорожания.

В этом случае

2 = ( 1 + г ) г

г _ 1 п 2 1001п2

г г%

Для грубых прикидок числа лет удвоения можно воспользоваться

правилом числа 70:

70 70 (1>6)

темп инфляции в процентах г%

Это правило получается из формулы удвоения заменой 1п2 его

приближенным значением: 1п2 » 0,7. Очевидно, что данные формулы

можно использовать и для отрицательного темпа (г < 0),

т. е. когда имеет место не прирост, а снижение.

В финансовой практике инфляцию учитывают, корректируя

ставку начисления процентов таким образом, чтобы компенси-

ровать обесценивание наращенной суммы из-за роста цен. Чтобы

номинальная ставка J при годовой инфляции г соответствовала

реальной ставке /, она должна удовлетворять условию

У=/ + г+/г. (1.7)

При невысокой инфляции произведением в формуле (1.7)

можно пренебречь. В этом случае поправка на инфляцию ограничивается

величиной темпа г, и ставку корректируют по формуле

+ Л (1.8)