Аналитические задачи
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
1. а) Запишем ряд распределения для случайных процентных
выплат по данному активу.
Проценты,П V -А
Вероятности,р 1-А Ра
Здесь определяются два возможных значения га и — 1 случайной
доходности и соответствующие им вероятности 1— ра, ра. Отсюда
найдем ее ожидаемое значение:
и среднеквадратическое отклонение:
б) легко понять, что при этих условиях ряд распределения случайной
доходности г задается следующим соответствием:
Значения доходности, г 0
Вероятности,р 1-Рп
Математическое ожидание этой случайной величины:
/иг=(1 -рп)га
а ее СКО
2. х0= (10 - /и,)/8, *, = (тр - 2)/8, тр = 2 + 1,6а,.
3. Для определения г0 и тр следует воспользоваться системой
уравнений:
т \ = >о + P i K - ^ o ) ;
m2 = r0 + p 2(mc - r 0 ) .
4. Оптимальная «смесь» достигается при равных денежных вложениях
в каждый из активов и позволяет получить не зависящую от
случайного исхода (<зр = 0) одну и ту же доходность тр = 2%.
5. Коэффициент «бета» расширенного портфеля составит величину
к
K + I К + 1 ->А-
Имея в виду, что / = ХК< 0,1К, полученный после добавления акций
А портфель также можно считать сильно диверсифицированным
(несистематический риск равен нулю). Согласно (6.19), риски
базового и измененного портфелей определяются в зависимости от
риска рыночного портфеля а с следующими произведениями:
а п - Рп • аа> а 1 ~ Pi * а с >
и, следовательно,
А 1 ~ а я = Pi - РЯ
° я Ря
Отсюда видно, что при выполнении условия сильной диверсификации
относительное изменение портфельного риска, измеряемого
СКО, совпадает по величине с относительным изменением
портфельной беты. С учетом доли дополнительного вложения А, полученная
формула приводится к виду
Аоп = X ФА-￡п)
° я + Ря
6. Согласно условию
к-Ах
U(x + Ax)-U(x) = ?-^,
х
где к — величина коэффициента пропорциональности. Перепишем это равенство
в виде отношения прироста этой функции к приросту ее аргумента:
U(x + Ax)-U(x) к
Ах х
Переходя к пределу отношения в левой части этого равенства
при Ах -> 0, получим дифференциальное уравнение
dU к
dx х'
которому удовлетворяет логарифмическая функция U(x) = к\пх. При
выборе надлежащих единиц числовой полезности можно считать,
что к = 1 и рассматривать логарифмическую полезность
U(x) = lux.
7. a) D = (1 + 1/у)(1 - (1 +УГЛ); б) D = (1 + 1/у) - п/((1 +/>" - 1).
Примечание. Для решения можно использовать формулу современной
величины ренты с постоянным абсолютным приростом платежей.
8. Z) = (1 + 1/0 - и/((1 + 0я - 1),
где / — ставка дисконтирования.
1. а) Запишем ряд распределения для случайных процентных
выплат по данному активу.
Проценты,П V -А
Вероятности,р 1-А Ра
Здесь определяются два возможных значения га и — 1 случайной
доходности и соответствующие им вероятности 1— ра, ра. Отсюда
найдем ее ожидаемое значение:
и среднеквадратическое отклонение:
б) легко понять, что при этих условиях ряд распределения случайной
доходности г задается следующим соответствием:
Значения доходности, г 0
Вероятности,р 1-Рп
Математическое ожидание этой случайной величины:
/иг=(1 -рп)га
а ее СКО
2. х0= (10 - /и,)/8, *, = (тр - 2)/8, тр = 2 + 1,6а,.
3. Для определения г0 и тр следует воспользоваться системой
уравнений:
т \ = >о + P i K - ^ o ) ;
m2 = r0 + p 2(mc - r 0 ) .
4. Оптимальная «смесь» достигается при равных денежных вложениях
в каждый из активов и позволяет получить не зависящую от
случайного исхода (<зр = 0) одну и ту же доходность тр = 2%.
5. Коэффициент «бета» расширенного портфеля составит величину
к
K + I К + 1 ->А-
Имея в виду, что / = ХК< 0,1К, полученный после добавления акций
А портфель также можно считать сильно диверсифицированным
(несистематический риск равен нулю). Согласно (6.19), риски
базового и измененного портфелей определяются в зависимости от
риска рыночного портфеля а с следующими произведениями:
а п - Рп • аа> а 1 ~ Pi * а с >
и, следовательно,
А 1 ~ а я = Pi - РЯ
° я Ря
Отсюда видно, что при выполнении условия сильной диверсификации
относительное изменение портфельного риска, измеряемого
СКО, совпадает по величине с относительным изменением
портфельной беты. С учетом доли дополнительного вложения А, полученная
формула приводится к виду
Аоп = X ФА-￡п)
° я + Ря
6. Согласно условию
к-Ах
U(x + Ax)-U(x) = ?-^,
х
где к — величина коэффициента пропорциональности. Перепишем это равенство
в виде отношения прироста этой функции к приросту ее аргумента:
U(x + Ax)-U(x) к
Ах х
Переходя к пределу отношения в левой части этого равенства
при Ах -> 0, получим дифференциальное уравнение
dU к
dx х'
которому удовлетворяет логарифмическая функция U(x) = к\пх. При
выборе надлежащих единиц числовой полезности можно считать,
что к = 1 и рассматривать логарифмическую полезность
U(x) = lux.
7. a) D = (1 + 1/у)(1 - (1 +УГЛ); б) D = (1 + 1/у) - п/((1 +/>" - 1).
Примечание. Для решения можно использовать формулу современной
величины ренты с постоянным абсолютным приростом платежей.
8. Z) = (1 + 1/0 - и/((1 + 0я - 1),
где / — ставка дисконтирования.