3.4. Оптимізаційні моделі в маркетингу

Оптимізаційними задачами в економіці називають економіко-математичні задачі, ціль яких — знаходження найкращого (оптимального) з позиції деякого критерію (критеріїв) варіанта використання ресурсів. Вирішуються такі задачі за допомогою оптимізаційних моделей методами математичного програмування.

На відміну від балансових моделей оптимізаційні моделі крім рівнянь або нерівностей, які описують взаємозв’язки між змінними, містять також критерій для вибору — функціонал або цільову функцію, що набирає значення в межах області припустимих рішень. Цільова функція в загальному вигляді визначається трьома моментами: керованими змінними, некерованими парамет­рами (що залежать, наприклад, від зовнішнього середовища) і формою залежності між ними (виглядом функції). Якщо позначити критерій оптимальності через U, керовані змінні — Х, параметри — Р, задані межі (область) зміни керованих змінних — через М, то загальний вигляд оптимізаційної моделі буде таким:

            (3.1)

Задачі вигляду (3.1) розв’язуються методами математичного програмування, що включає в себе лінійне програмування, нелінійне програмування, динамічне програмування, цілочисельне програмування і т. д. Вибір методів математичного програмування для розв’язання оптимізаційних задач визначається виглядом цільової функції, виглядом обмежень, що визначають область М, і спеціальними обмеженнями на керовані змінні (наприклад, вимогою щодо їх цілочисельності). Рішення задачі (3.1) звичайно називається оптимальним рішенням, або оптимальним планом.

Значна частина економічних задач, у тому числі й у галузі маркетингу, потребує цілочисельного рішення, коли змінні величини означають кількість неподільних одиниць продукції, обладнання тощо. В ряді випадків такі задачі вирішуються з вико­ристанням звичайних методів, наприклад симплексного, з по-
дальшим округленням до цілих чисел або за методом Гоморі для лінійних задач цілочисельного програмування.

Багато задач маркетингу зводиться в процесі економіко-ма­тематичного моделювання до оптимізаційних моделей. Розглянемо деякі типові задачі.

Статична модель оптимізації прикріплення споживачів до постачальників. Основною математичною моделлю оптимального прикріплення споживачів до постачальників є так звана транспортна задача лінійного програмування

Задача про комівояжера. У задачі про комівояжера потрібно відшукати найкращий маршрут з тим, щоб об’їхати всі визначенні пункти і повернутися назад або в найкоротший термін, або з найменшими витратами на проїзд.

Задача про розміщення складів. Задача про розміщення складів є однією з оптимізаційних задач дослідження операцій і вирішується звичайно методами нелінійного програмування. Задача полягає у мінімізації загальної суми транспортних і складських витрат за таких обмежень:

з кожного підприємства має бути відвантажена вся продукція;

не може бути перевищеною місткість жодного складу;

має бути задоволені замовлення всіх споживачів.

У процесі розв’язання задачі знаходиться оптимальна за мінімумом витрат тричленна комбінація: підприємство—склад—спо­живач. За деяких умов задача про розміщення складів може зводитися до звичайної транспортної задачі лінійного програмування.

Задача про ранець (або про рюкзак). Це задача про найкращий вибір предметів із загальної їх кількості таким чином, щоб сумарна вага (або габарити) відібраних предметів не перевищувала заданої величини, або сумарна корисність чи інша загальна оцінка (кількість калорій, загальна вартість і т. д.) була максимальною. Задача про ранець розв’язується як задача цілочисельного лінійного програмування, за методами динамічного програмування та іншими методами. Зокрема, ця задача застосовується при плануванні оптимального завантаження літаків, кораблів, складів тощо.

Оптимізаційними задачами в економіці називають економіко-математичні задачі, ціль яких — знаходження найкращого (оптимального) з позиції деякого критерію (критеріїв) варіанта використання ресурсів. Вирішуються такі задачі за допомогою оптимізаційних моделей методами математичного програмування.

На відміну від балансових моделей оптимізаційні моделі крім рівнянь або нерівностей, які описують взаємозв’язки між змінними, містять також критерій для вибору — функціонал або цільову функцію, що набирає значення в межах області припустимих рішень. Цільова функція в загальному вигляді визначається трьома моментами: керованими змінними, некерованими парамет­рами (що залежать, наприклад, від зовнішнього середовища) і формою залежності між ними (виглядом функції). Якщо позначити критерій оптимальності через U, керовані змінні — Х, параметри — Р, задані межі (область) зміни керованих змінних — через М, то загальний вигляд оптимізаційної моделі буде таким:

            (3.1)

Задачі вигляду (3.1) розв’язуються методами математичного програмування, що включає в себе лінійне програмування, нелінійне програмування, динамічне програмування, цілочисельне програмування і т. д. Вибір методів математичного програмування для розв’язання оптимізаційних задач визначається виглядом цільової функції, виглядом обмежень, що визначають область М, і спеціальними обмеженнями на керовані змінні (наприклад, вимогою щодо їх цілочисельності). Рішення задачі (3.1) звичайно називається оптимальним рішенням, або оптимальним планом.

Значна частина економічних задач, у тому числі й у галузі маркетингу, потребує цілочисельного рішення, коли змінні величини означають кількість неподільних одиниць продукції, обладнання тощо. В ряді випадків такі задачі вирішуються з вико­ристанням звичайних методів, наприклад симплексного, з по-
дальшим округленням до цілих чисел або за методом Гоморі для лінійних задач цілочисельного програмування.

Багато задач маркетингу зводиться в процесі економіко-ма­тематичного моделювання до оптимізаційних моделей. Розглянемо деякі типові задачі.

Статична модель оптимізації прикріплення споживачів до постачальників. Основною математичною моделлю оптимального прикріплення споживачів до постачальників є так звана транспортна задача лінійного програмування

Задача про комівояжера. У задачі про комівояжера потрібно відшукати найкращий маршрут з тим, щоб об’їхати всі визначенні пункти і повернутися назад або в найкоротший термін, або з найменшими витратами на проїзд.

Задача про розміщення складів. Задача про розміщення складів є однією з оптимізаційних задач дослідження операцій і вирішується звичайно методами нелінійного програмування. Задача полягає у мінімізації загальної суми транспортних і складських витрат за таких обмежень:

з кожного підприємства має бути відвантажена вся продукція;

не може бути перевищеною місткість жодного складу;

має бути задоволені замовлення всіх споживачів.

У процесі розв’язання задачі знаходиться оптимальна за мінімумом витрат тричленна комбінація: підприємство—склад—спо­живач. За деяких умов задача про розміщення складів може зводитися до звичайної транспортної задачі лінійного програмування.

Задача про ранець (або про рюкзак). Це задача про найкращий вибір предметів із загальної їх кількості таким чином, щоб сумарна вага (або габарити) відібраних предметів не перевищувала заданої величини, або сумарна корисність чи інша загальна оцінка (кількість калорій, загальна вартість і т. д.) була максимальною. Задача про ранець розв’язується як задача цілочисельного лінійного програмування, за методами динамічного програмування та іншими методами. Зокрема, ця задача застосовується при плануванні оптимального завантаження літаків, кораблів, складів тощо.