48. Коэффициенты эластичности
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Коэффициенты эластичности наряду с индексами корреляции и детерминации для нелинейных форм связи применяются для характеристики зависимости между результативной переменной и факторными переменными. С помощью коэффициентов эластичности можно оценить степень зависимости между переменными х и у.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится величина результативной переменной у, если величина факторной переменной изменится на 1 %.
В общем случае коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:
где
– первая производная результативной переменной у по факторной переменной x.
Коэффициенты эластичности могут быть рассчитаны как средние и точечные коэффициенты.
Средний коэффициент эластичности характеризует, на сколько процентов изменится результативная переменная у относительно своего среднего уровня
если факторная переменная х изменится на 1 % относительного своего среднего уровня
Общая формула для расчёта коэффициента эластичности для среднего значения
факторной переменной х:
где
– значение функции у при среднем значении факторной переменной х.
Для каждой из разновидностей нелинейных функций средние коэффициенты эластичности рассчитываются по индивидуальным формулам.
Для линейной функции вида:
yi=β0+β1xi,
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для полиномиальной функции второго порядка (параболической функции) вида:
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для показательной функции вида:
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для степенной функции вида:
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Это единственная нелинейная функция, для которой средний коэффициент эластичности
равен коэффициенту регрессии β1.
Точечные коэффициенты эластичности характеризуются тем, что эластичность функции зависит от заданного значения факторной переменной х1.
Точечный коэффициент эластичности характеризует, на сколько процентов изменится результативная переменная у относительно своего значения в точке х1, если факторная переменная изменится на 1 % относительно заданного уровня х1.
Общая формула для расчёта коэффициента эластичности для заданного значения х1факторной переменной х:
Для каждой из разновидностей нелинейных функций средние коэффициенты эластичности рассчитываются по индивидуальным формулам.
Для линейной функции вида:
yi=β0+β1xi,
точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:
В знаменателе данного показателя стоит значение линейной функции в точке х1.
Для полиномиальной функции второго порядка (параболической функции) вида:
точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:
В знаменателе данного показателя стоит значение параболической функции в точке х1.
Для показательной функции вида:
точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для степенной функции вида:
точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:
Докажем данное утверждение.
Запишем точечный коэффициент эластичности для степенной функции вида
через первую производную результативной переменной по заданной факторной переменной x1:
Следовательно, Э(x1) = β1, что и требовалось доказать.
Чаще всего коэффициенты эластичности применяются в анализе производственных функций. Однако их расчёт не всегда имеет смысл, потому что в некоторых случаях интерпретация факторных переменных в процентном отношении невозможна или бессмысленна.
Коэффициенты эластичности наряду с индексами корреляции и детерминации для нелинейных форм связи применяются для характеристики зависимости между результативной переменной и факторными переменными. С помощью коэффициентов эластичности можно оценить степень зависимости между переменными х и у.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится величина результативной переменной у, если величина факторной переменной изменится на 1 %.
В общем случае коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:
где
– первая производная результативной переменной у по факторной переменной x.
Коэффициенты эластичности могут быть рассчитаны как средние и точечные коэффициенты.
Средний коэффициент эластичности характеризует, на сколько процентов изменится результативная переменная у относительно своего среднего уровня
если факторная переменная х изменится на 1 % относительного своего среднего уровня
Общая формула для расчёта коэффициента эластичности для среднего значения
факторной переменной х:
где
– значение функции у при среднем значении факторной переменной х.
Для каждой из разновидностей нелинейных функций средние коэффициенты эластичности рассчитываются по индивидуальным формулам.
Для линейной функции вида:
yi=β0+β1xi,
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для полиномиальной функции второго порядка (параболической функции) вида:
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для показательной функции вида:
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для степенной функции вида:
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Это единственная нелинейная функция, для которой средний коэффициент эластичности
равен коэффициенту регрессии β1.
Точечные коэффициенты эластичности характеризуются тем, что эластичность функции зависит от заданного значения факторной переменной х1.
Точечный коэффициент эластичности характеризует, на сколько процентов изменится результативная переменная у относительно своего значения в точке х1, если факторная переменная изменится на 1 % относительно заданного уровня х1.
Общая формула для расчёта коэффициента эластичности для заданного значения х1факторной переменной х:
Для каждой из разновидностей нелинейных функций средние коэффициенты эластичности рассчитываются по индивидуальным формулам.
Для линейной функции вида:
yi=β0+β1xi,
точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:
В знаменателе данного показателя стоит значение линейной функции в точке х1.
Для полиномиальной функции второго порядка (параболической функции) вида:
точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:
В знаменателе данного показателя стоит значение параболической функции в точке х1.
Для показательной функции вида:
точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для степенной функции вида:
точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:
Докажем данное утверждение.
Запишем точечный коэффициент эластичности для степенной функции вида
через первую производную результативной переменной по заданной факторной переменной x1:
Следовательно, Э(x1) = β1, что и требовалось доказать.
Чаще всего коэффициенты эластичности применяются в анализе производственных функций. Однако их расчёт не всегда имеет смысл, потому что в некоторых случаях интерпретация факторных переменных в процентном отношении невозможна или бессмысленна.