89. Условия идентификации структурной формы системы одновременных уравнений
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Введём следующие обозначения:
N – количество предопределённых переменных структурной формы системы одновременных уравнений;
n – количество предопределённых переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;
M – количество эндогенных переменных структурной формы системы одновременных уравнений;
m – количество эндогенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;
K – матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, проверяемое на идентифицируемость.
Необходимые и достаточные условия идентификации применяются только к структурной форме системы одновременных уравнений.
Первое необходимое условие идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений.
Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений идентифицируемо в том случае, если оно исключает хотя бы N-1 предопределённую переменную:
(N–n)+(M–m)≥N–1.
Второе необходимое условие идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений.
Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений идентифицируемо в том случае, если количество предопределённых переменных, не входящих в данное уравнение, будет не меньше числа эндогенных переменных этого уравнения минус единица:
N–n≥m–1.
Достаточное условие идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений.
Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений идентифицируемо в том случае, если ранг матрицы K равен (N-1).
Рангом матрицы называется размер наибольшей её квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.
На основе перечисленных условий идентификации, можно сформулировать необходимые и достаточные условия идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений:
1) уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается сверхидентифицированным, если M–m>n–1 и ранг матрицы K равен (N-1);
2) уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается точно идентифицированным, если M–m=n–1 и ранг матрицы K равен (N-1);
3) уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается неидентифицированным, если M–m≥n–1 и ранг матрицы K меньше (N-1);
4) уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается неидентифицированным, если M–m<n–1.
В качестве примера можно рассмотрим процесс идентификации структурной формы модели спроса и предложения. Данная модель включает в себя три уравнения:
1) уравнение предложения:
2) уравнение спроса:
3) тождество равновесия:
QSt = Qdt
С учётом тождества равновесия, модель спроса-предложения может быть записана в виде:
Количество эндогенных переменных данной модели M равно двум (Pt и Qt), т.е. M=2. Количество предопределённых переменных данной модели N равно двум (Pt–1 и It), т.е. N=2.
Проверим выполнение первого необходимого условия идентифицируемости.
Для функции спроса выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
(N–n)+(M–m)=(2–1)+(2–2)+(2–2)=1=(N–1)=1,
следовательно, уравнение спроса является точно идентифицированным.
Для функции предложения выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
(N–n)+(M–m)=(2–1)+(2–2)+(2–2)=1=(N–1)=1,
следовательно, уравнение предложения является точно идентифицированным.
Проверим выполнение второго необходимого условия идентифицируемости.
Для функции спроса выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
N–n=2–1=1=m–1=2–1=1,
следовательно, уравнение спроса является точно идентифицированным.
Для функции предложения выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
N–n=2–1=1=m–1=2–1=1,
следовательно, уравнение предложения является точно идентифицированным.
Проверим выполнение достаточного условия идентифицируемости, заключающееся в том, чтобы хотя бы один из коэффициентов матрицы K не был равен нулю, т.к. M–1=1.
В первом уравнении модели исключена переменная It и матрица K=[b2]. Т.к. определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, rank=1=M–1 и уравнение является идентифицированным.
Во втором уравнении исключена переменная Pt–1 и матрица К=[a2]. Т.к. определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, rank=1=M–1 и уравнение является идентифицированным.
Т.к. уравнения спроса и предложения являются точно идентифицированными, то и система уравнений в целом точно идентифицирована.
Приведённая форма системы уравнений модели спроса-предложения:
Введём следующие обозначения:
N – количество предопределённых переменных структурной формы системы одновременных уравнений;
n – количество предопределённых переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;
M – количество эндогенных переменных структурной формы системы одновременных уравнений;
m – количество эндогенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;
K – матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, проверяемое на идентифицируемость.
Необходимые и достаточные условия идентификации применяются только к структурной форме системы одновременных уравнений.
Первое необходимое условие идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений.
Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений идентифицируемо в том случае, если оно исключает хотя бы N-1 предопределённую переменную:
(N–n)+(M–m)≥N–1.
Второе необходимое условие идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений.
Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений идентифицируемо в том случае, если количество предопределённых переменных, не входящих в данное уравнение, будет не меньше числа эндогенных переменных этого уравнения минус единица:
N–n≥m–1.
Достаточное условие идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений.
Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений идентифицируемо в том случае, если ранг матрицы K равен (N-1).
Рангом матрицы называется размер наибольшей её квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.
На основе перечисленных условий идентификации, можно сформулировать необходимые и достаточные условия идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений:
1) уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается сверхидентифицированным, если M–m>n–1 и ранг матрицы K равен (N-1);
2) уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается точно идентифицированным, если M–m=n–1 и ранг матрицы K равен (N-1);
3) уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается неидентифицированным, если M–m≥n–1 и ранг матрицы K меньше (N-1);
4) уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается неидентифицированным, если M–m<n–1.
В качестве примера можно рассмотрим процесс идентификации структурной формы модели спроса и предложения. Данная модель включает в себя три уравнения:
1) уравнение предложения:
2) уравнение спроса:
3) тождество равновесия:
QSt = Qdt
С учётом тождества равновесия, модель спроса-предложения может быть записана в виде:
Количество эндогенных переменных данной модели M равно двум (Pt и Qt), т.е. M=2. Количество предопределённых переменных данной модели N равно двум (Pt–1 и It), т.е. N=2.
Проверим выполнение первого необходимого условия идентифицируемости.
Для функции спроса выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
(N–n)+(M–m)=(2–1)+(2–2)+(2–2)=1=(N–1)=1,
следовательно, уравнение спроса является точно идентифицированным.
Для функции предложения выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
(N–n)+(M–m)=(2–1)+(2–2)+(2–2)=1=(N–1)=1,
следовательно, уравнение предложения является точно идентифицированным.
Проверим выполнение второго необходимого условия идентифицируемости.
Для функции спроса выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
N–n=2–1=1=m–1=2–1=1,
следовательно, уравнение спроса является точно идентифицированным.
Для функции предложения выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
N–n=2–1=1=m–1=2–1=1,
следовательно, уравнение предложения является точно идентифицированным.
Проверим выполнение достаточного условия идентифицируемости, заключающееся в том, чтобы хотя бы один из коэффициентов матрицы K не был равен нулю, т.к. M–1=1.
В первом уравнении модели исключена переменная It и матрица K=[b2]. Т.к. определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, rank=1=M–1 и уравнение является идентифицированным.
Во втором уравнении исключена переменная Pt–1 и матрица К=[a2]. Т.к. определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, rank=1=M–1 и уравнение является идентифицированным.
Т.к. уравнения спроса и предложения являются точно идентифицированными, то и система уравнений в целом точно идентифицирована.
Приведённая форма системы уравнений модели спроса-предложения:
