53. Двухфакторная производственная функция Солоу
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Помимо двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа, одной из наиболее часто используемых двухфакторных функций является производственная функция, предложенная американским учёным Солоу в 1956 г.
Общий вид двухфакторной производственной функции Солоу:
где Q – объём выпущенной продукции (в стоимостном или натуральном выражении);
K – объём основного капитала или основных фондов;
L – объём трудовых ресурсов или трудовых затрат (измеряемое количеством рабочих или количеством человеко-дней).
A,β,a – неизвестные числовые параметры или технологические характеристики производственной функции, которые подчиняются условиям:
1) 0≤а≤1
2) A›0;
3) β›0.
По сравнению с двухфакторной производственной функцией Кобба-Дугласа производственная функция Солоу имеет много преимуществ.
Для функции Солоу является справедливым правило эффекта от масштаба производства, т. е. она является однородной относительно переменных.
Докажем данное утверждение. Пусть объём основного капитала изменился на величину nK, а объём трудовых затрат увеличился на величину nL. Рассчитаем величину изменения объёма производства для функции двухфакторной производственной Солоу:
Данное равенство означает, что с ростом факторных переменных K и L в n раз объём произведённой продукции Q также возрастает в n раз (если справедливо неравенство n›1). С уменьшением факторных переменных K и L в n раз объём произведённой продукции Q также снижается в n раз (если справедливо неравенство 0‹n‹1).
Если одна из факторных переменных производственной функции Солоу равна нулю, например, K=0, то изменение объёма производства Q будет линейно зависеть от изменения объёма второй факторной переменной, т. е. затрат труда L. И, наоборот, если L=0, то изменение объёма производства Q будет линейно зависит от изменения затрат основного капитала К.
Если одну из факторных переменных, например, затраты основного капитала K зафиксировать на уровне K0, то объем произведённой продукции Q будет увеличиваться с ростом второй факторной переменной затрат труда L. Если же зафиксировать факторную переменную затрат труда L на уровне L0, то объем произведённой продукции Q будет увеличиваться с ростом второй факторной переменной К.
Докажем данное утверждение. Рассчитаем показатель предельной производительности факторной переменной затрат труда L:
Следовательно, предельная производительность факторной переменной L всегда больше нуля.
Аналогично доказывается, что предельная производительность второй факторной переменной объёма основных фондов К также больше нуля, что говорит о росте объёма произведённой продукции Q с ростом факторной переменной К и при фиксированном значении факторной переменной L.
Изоквантой для двухфакторной производственной функции Солоу называется кривая, которая характеризуется равенством β(K,L)=const.
Для производственной функции Солоу можно рассчитать показатели эластичности:
1) частный коэффициент эластичности функции Солоу по факторной переменной К рассчитывается по формуле:
2) частный коэффициент эластичности функции Солоу по факторной переменной L рассчитывается по формуле:
Помимо двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа, одной из наиболее часто используемых двухфакторных функций является производственная функция, предложенная американским учёным Солоу в 1956 г.
Общий вид двухфакторной производственной функции Солоу:
где Q – объём выпущенной продукции (в стоимостном или натуральном выражении);
K – объём основного капитала или основных фондов;
L – объём трудовых ресурсов или трудовых затрат (измеряемое количеством рабочих или количеством человеко-дней).
A,β,a – неизвестные числовые параметры или технологические характеристики производственной функции, которые подчиняются условиям:
1) 0≤а≤1
2) A›0;
3) β›0.
По сравнению с двухфакторной производственной функцией Кобба-Дугласа производственная функция Солоу имеет много преимуществ.
Для функции Солоу является справедливым правило эффекта от масштаба производства, т. е. она является однородной относительно переменных.
Докажем данное утверждение. Пусть объём основного капитала изменился на величину nK, а объём трудовых затрат увеличился на величину nL. Рассчитаем величину изменения объёма производства для функции двухфакторной производственной Солоу:
Данное равенство означает, что с ростом факторных переменных K и L в n раз объём произведённой продукции Q также возрастает в n раз (если справедливо неравенство n›1). С уменьшением факторных переменных K и L в n раз объём произведённой продукции Q также снижается в n раз (если справедливо неравенство 0‹n‹1).
Если одна из факторных переменных производственной функции Солоу равна нулю, например, K=0, то изменение объёма производства Q будет линейно зависеть от изменения объёма второй факторной переменной, т. е. затрат труда L. И, наоборот, если L=0, то изменение объёма производства Q будет линейно зависит от изменения затрат основного капитала К.
Если одну из факторных переменных, например, затраты основного капитала K зафиксировать на уровне K0, то объем произведённой продукции Q будет увеличиваться с ростом второй факторной переменной затрат труда L. Если же зафиксировать факторную переменную затрат труда L на уровне L0, то объем произведённой продукции Q будет увеличиваться с ростом второй факторной переменной К.
Докажем данное утверждение. Рассчитаем показатель предельной производительности факторной переменной затрат труда L:
Следовательно, предельная производительность факторной переменной L всегда больше нуля.
Аналогично доказывается, что предельная производительность второй факторной переменной объёма основных фондов К также больше нуля, что говорит о росте объёма произведённой продукции Q с ростом факторной переменной К и при фиксированном значении факторной переменной L.
Изоквантой для двухфакторной производственной функции Солоу называется кривая, которая характеризуется равенством β(K,L)=const.
Для производственной функции Солоу можно рассчитать показатели эластичности:
1) частный коэффициент эластичности функции Солоу по факторной переменной К рассчитывается по формуле:
2) частный коэффициент эластичности функции Солоу по факторной переменной L рассчитывается по формуле:
