62. Критерий Дарбина-Уотсона обнаружения автокорреляции остатков модели регрессии
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Помимо автокорреляционной и частной автокорреляционной функций для обнаружения автокорреляции остатков модели регрессии используется критерий Дарбина-Уотсона. Однако данный критерий можно применять только для обнаружения автокорреляции первого порядка между соседними рядами случайных остатков.
Предположим, что на основе собранных данных была построена линейная модель множественной регрессии, которая представлена в матричном виде:
Y=Xβ+εt.
Присутствующая в данной модели регрессии автокорреляция первого порядка может генерировать ошибку, определяемую по формуле:
εt=ρεt-1+νt
где ρ – коэффициент автокорреляции, |ρ|<1;
νt – независимые, одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2(νt).
Перед исследователем стоит задача определения наличия автокорреляции первого порядка в построенной модели регрессии.
Выдвигается основная гипотеза о незначимости коэффициента автокорреляции первого порядка:
H0: ρ1=0.
Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в утверждении о значимости коэффициента автокорреляции:
H0: ρ1≠0.
Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью критерия Дарбина-Уотсона.
Наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением критерия Дарбина-Уотсона, которое определяется по специальным таблицам.
Критическое значение критерия Дарбина-Уотсона определяется в зависимости от значений верхней d1 и нижней d2 границ критерия по специальным таблицам. Данные границы определяются в зависимости от объёма выборочной совокупности n и числа степеней свободы (h-1), где h – количество оцениваемых по выборке параметров.
Наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона при проверке основной гипотезы вида H0: ρ1=0 определяется по формуле:
где et – остатки модели регрессии в наблюдении t, определяемые по формуле:
et-1 – остатки модели регрессии в наблюдении t-1, определяемые по формуле:
Приближённое значение величины критерия Дарбина-Уотсона можно также рассчитать по формуле:
dнабл≈2(1-r1),
где r1 – выборочный коэффициент автокорреляции первого порядка. В зависимости от величины данного коэффициента, наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона определяется следующим образом:
1) если r1=0, то dнабл=2;
2) если r1=+1, то dнабл=0;
3) если r1=-1, то dнабл=4.
Если коэффициент автокорреляции является положительной величиной, то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критического значения его нижней границы, т. е. dнабл‹d1, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критического значения его верхней границы, т. е. dнабл>d2, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится между верхней и нижней критическими границами, т. е. d1< dнабл< d2, то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.
Если коэффициент автокорреляции является отрицательной величиной, то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критической величины 4 – d1, т.е. dнабл>4 – d1, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критической величины 4 – d2, т. е. dнабл‹4 – d2, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится в критическом интервале между величинами 4 – d1 и 4– d2, т.е. 4 – d1< dнабл<4 – d2, , то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.
Помимо автокорреляционной и частной автокорреляционной функций для обнаружения автокорреляции остатков модели регрессии используется критерий Дарбина-Уотсона. Однако данный критерий можно применять только для обнаружения автокорреляции первого порядка между соседними рядами случайных остатков.
Предположим, что на основе собранных данных была построена линейная модель множественной регрессии, которая представлена в матричном виде:
Y=Xβ+εt.
Присутствующая в данной модели регрессии автокорреляция первого порядка может генерировать ошибку, определяемую по формуле:
εt=ρεt-1+νt
где ρ – коэффициент автокорреляции, |ρ|<1;
νt – независимые, одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2(νt).
Перед исследователем стоит задача определения наличия автокорреляции первого порядка в построенной модели регрессии.
Выдвигается основная гипотеза о незначимости коэффициента автокорреляции первого порядка:
H0: ρ1=0.
Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в утверждении о значимости коэффициента автокорреляции:
H0: ρ1≠0.
Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью критерия Дарбина-Уотсона.
Наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением критерия Дарбина-Уотсона, которое определяется по специальным таблицам.
Критическое значение критерия Дарбина-Уотсона определяется в зависимости от значений верхней d1 и нижней d2 границ критерия по специальным таблицам. Данные границы определяются в зависимости от объёма выборочной совокупности n и числа степеней свободы (h-1), где h – количество оцениваемых по выборке параметров.
Наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона при проверке основной гипотезы вида H0: ρ1=0 определяется по формуле:
где et – остатки модели регрессии в наблюдении t, определяемые по формуле:
et-1 – остатки модели регрессии в наблюдении t-1, определяемые по формуле:
Приближённое значение величины критерия Дарбина-Уотсона можно также рассчитать по формуле:
dнабл≈2(1-r1),
где r1 – выборочный коэффициент автокорреляции первого порядка. В зависимости от величины данного коэффициента, наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона определяется следующим образом:
1) если r1=0, то dнабл=2;
2) если r1=+1, то dнабл=0;
3) если r1=-1, то dнабл=4.
Если коэффициент автокорреляции является положительной величиной, то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критического значения его нижней границы, т. е. dнабл‹d1, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критического значения его верхней границы, т. е. dнабл>d2, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится между верхней и нижней критическими границами, т. е. d1< dнабл< d2, то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.
Если коэффициент автокорреляции является отрицательной величиной, то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критической величины 4 – d1, т.е. dнабл>4 – d1, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критической величины 4 – d2, т. е. dнабл‹4 – d2, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится в критическом интервале между величинами 4 – d1 и 4– d2, т.е. 4 – d1< dнабл<4 – d2, , то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.