97. Метод Алмон

Для оценки неизвестных коэффициентов модели с распределённым лагом применяется метод Алмон или лаги Алмон.

Данный метод можно применять к моделям, которые характеризуются полиномиальной структурой лага и конечной величиной лага L:

yt=β0+β1xt+β2xt–1+…+βLxt–L+εt. (1)

Структура лага определяется графическим методом при отражении зависимости параметров при факторных переменных от величины лага.

Алгоритм метода Алмон реализуется в несколько этапов:

Суть метода Алмон состоит в следующем:

1) зависимость коэффициентов при факторных переменных βi от величины лага i аппроксимируется полиномиальной функцией:

а) первого порядка βi=c0+c1*i

б) второго порядка

в) третьего порядка

г) в общем случае полиномиальной функцией порядка P:

Алмон доказал, рассчитать оценки коэффициентов

намного проще, чем найти оценки непосредственно коэффициентов βi. Подобный метод оценивания коэффициентов βi  называется полиномиальной аппроксимацией.

2) каждый коэффициент модели (1) можно выразить следующим образом:

β1=c0;

β2=c0+c1+…+cP;

β3=c0+2c1+4c2+…+2PcP;

β4=c0+3c1+9c2+…+3PcP;

…

βL=c0+Lc1+L2c2+…+LPcP.

Подставим полученные выражения для коэффициентов βi в модель (1):

yt=β0+c0xt+( c0+c1+…+cP)xt–1+…+( βL=c0+Lc1+L2c2+…+LPcP)xt–L+εt.

3) в полученном выражении перегруппируем слагаемые:

Обозначим слагаемые в скобках при коэффициентах

как новые переменные:

С учётом новых переменных модель примет вид:

yt=β0+c0z0+c1z1+…+cPzP+εt. (2)

4) оценки неизвестных коэффициентов модели (2) можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Далее на основе полученных оценок коэффициентов

5) найдём оценки коэффициентов

модели (1), используя соотношения, полученные на первом шаге.

К основным недостаткам метода Алмон относятся:

1) необходимо заранее знать величину максимального временного лага L, однако на практике это невозможно. Определить величину лага L можно с помощью вычисления показателей тесноты связи, например, линейных парных коэффициентов корреляции, между результативной переменной у и лаговым значением факторной переменной х. Если показатель тесноты связи является значимым, то данную переменную необходимо включить в модель с распределённым лагом. Порядок максимального значимого показателя тесноты связи принимается в качестве максимальной величины лага L;

2) порядок полиномиальной функции Р также заранее неизвестен. При выборе порядка полинома обычно исходят из того, что на практике не используются полиномы более второго порядка, а выбранная степень полинома должна быть на единицу меньше числа экстремумов в структуре лага;

3) если между факторные переменные коррелируют друг с другом, то новые переменные

которые являются линейной комбинацией факторных переменных x, будут также коррелировать между собой. Поэтому проблема мультиколлинеарности в преобразованной модели (2) устранена не полностью. Однако мультиколлинеарность новых переменных zi в меньшей степени отражается на оценках неизвестных коэффициентов βi исходной модели (1), чем при использовании традиционного метода наименьших квадратов к данной модели.

Основным преимуществом метода Алмон является то, что данный метод является универсальным и может быть использован при моделировании процессов, которые характеризуются различными структурами лагов.

Для оценки неизвестных коэффициентов модели с распределённым лагом применяется метод Алмон или лаги Алмон.

Данный метод можно применять к моделям, которые характеризуются полиномиальной структурой лага и конечной величиной лага L:

yt=β0+β1xt+β2xt–1+…+βLxt–L+εt. (1)

Структура лага определяется графическим методом при отражении зависимости параметров при факторных переменных от величины лага.

Алгоритм метода Алмон реализуется в несколько этапов:

Суть метода Алмон состоит в следующем:

1) зависимость коэффициентов при факторных переменных βi от величины лага i аппроксимируется полиномиальной функцией:

а) первого порядка βi=c0+c1*i

б) второго порядка

в) третьего порядка

г) в общем случае полиномиальной функцией порядка P:

Алмон доказал, рассчитать оценки коэффициентов

намного проще, чем найти оценки непосредственно коэффициентов βi. Подобный метод оценивания коэффициентов βi  называется полиномиальной аппроксимацией.

2) каждый коэффициент модели (1) можно выразить следующим образом:

β1=c0;

β2=c0+c1+…+cP;

β3=c0+2c1+4c2+…+2PcP;

β4=c0+3c1+9c2+…+3PcP;

…

βL=c0+Lc1+L2c2+…+LPcP.

Подставим полученные выражения для коэффициентов βi в модель (1):

yt=β0+c0xt+( c0+c1+…+cP)xt–1+…+( βL=c0+Lc1+L2c2+…+LPcP)xt–L+εt.

3) в полученном выражении перегруппируем слагаемые:

Обозначим слагаемые в скобках при коэффициентах

как новые переменные:

С учётом новых переменных модель примет вид:

yt=β0+c0z0+c1z1+…+cPzP+εt. (2)

4) оценки неизвестных коэффициентов модели (2) можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Далее на основе полученных оценок коэффициентов

5) найдём оценки коэффициентов

модели (1), используя соотношения, полученные на первом шаге.

К основным недостаткам метода Алмон относятся:

1) необходимо заранее знать величину максимального временного лага L, однако на практике это невозможно. Определить величину лага L можно с помощью вычисления показателей тесноты связи, например, линейных парных коэффициентов корреляции, между результативной переменной у и лаговым значением факторной переменной х. Если показатель тесноты связи является значимым, то данную переменную необходимо включить в модель с распределённым лагом. Порядок максимального значимого показателя тесноты связи принимается в качестве максимальной величины лага L;

2) порядок полиномиальной функции Р также заранее неизвестен. При выборе порядка полинома обычно исходят из того, что на практике не используются полиномы более второго порядка, а выбранная степень полинома должна быть на единицу меньше числа экстремумов в структуре лага;

3) если между факторные переменные коррелируют друг с другом, то новые переменные

которые являются линейной комбинацией факторных переменных x, будут также коррелировать между собой. Поэтому проблема мультиколлинеарности в преобразованной модели (2) устранена не полностью. Однако мультиколлинеарность новых переменных zi в меньшей степени отражается на оценках неизвестных коэффициентов βi исходной модели (1), чем при использовании традиционного метода наименьших квадратов к данной модели.

Основным преимуществом метода Алмон является то, что данный метод является универсальным и может быть использован при моделировании процессов, которые характеризуются различными структурами лагов.