71. Метод проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду, основанный на сравнении средних уровней ряда
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Наличие во временном ряду трендовой компоненты не всегда можно определить с помощью графика. Поэтому для выявления этой компоненты используются специальные критерии проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду.
Рассмотрим следующие критерии проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду:
1) критерий, основанный на сравнении средних уровней временного ряда;
2) критерий «восходящих и нисходящих» серий;
3) критерий серий, основанный на медиане выборочной совокупности.
При проверке гипотезы о существовании тренда во временном ряду с помощью критерия, основанного на сравнении средних уровней, временной ряд из N наблюдений делится на две равные части. Объём первой части yi равен
и объём второй части yj равен
Обе части временного ряда рассматриваются как самостоятельные выборочные совокупности, подчиняющиеся нормальному закону распределения.
Для каждой из выборок yi и yj рассчитываются следующие выборочные характеристики:
1) средние арифметические значения:
2) выборочные дисперсии:
При проверке предположения о наличии во временном ряду трендовой компоненты выдвигается основная гипотеза о равенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей:
H0:μi=μj.
Альтернативной или обратной является гипотеза о неравенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей:
H0:μi≠μj.
Основная гипотеза вида H0:μi=μj проверяется при справедливости предположения о равенстве генеральных дисперсий:
Гипотеза о равенстве дисперсий проверяется с помощью F-критерия Фишера.
Наблюдаемое значение F-критерия сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора.
Критическое значение F-критерия Фишера определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора в зависимости от уровня значимости а и двух степеней свободы
k1=n–1 и k2=N–n–2.
Наблюдаемое значение F-критерия при проверке основной гипотезы вида
определяется по формуле:
при условии, что
При проверке выдвинутых гипотез возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл>Fкрит, то основная гипотеза отклоняется.
Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т.е. Fнабл≤Fкрит, то основная гипотеза принимается.
Гипотеза о равенстве генеральных средних проверяется с помощью t-критерия Стьюдента.
Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.
Критическое значение t-критерия tкрит(а,N–2) определяется по таблице распределения Стьюдента, где а – уровень значимости, (N–2) – число степеней свободы.
Наблюдаемое значение t-критерия при проверке основной гипотезы вида H0:μi=μj определяется по формуле:
При проверке гипотез возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл>tкрит, то основная гипотеза отвергается, и генеральные средние двух выборок не равны между собой. Следовательно, в исходном временном ряду присутствует трендовая компонента.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т.е. tнабл≤tкрит, то основная гипотеза принимается, и генеральные средние двух выборок равны между собой. Следовательно, в исходном временном ряду отсутствует трендовая компонента.
Наличие во временном ряду трендовой компоненты не всегда можно определить с помощью графика. Поэтому для выявления этой компоненты используются специальные критерии проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду.
Рассмотрим следующие критерии проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду:
1) критерий, основанный на сравнении средних уровней временного ряда;
2) критерий «восходящих и нисходящих» серий;
3) критерий серий, основанный на медиане выборочной совокупности.
При проверке гипотезы о существовании тренда во временном ряду с помощью критерия, основанного на сравнении средних уровней, временной ряд из N наблюдений делится на две равные части. Объём первой части yi равен
и объём второй части yj равен
Обе части временного ряда рассматриваются как самостоятельные выборочные совокупности, подчиняющиеся нормальному закону распределения.
Для каждой из выборок yi и yj рассчитываются следующие выборочные характеристики:
1) средние арифметические значения:
2) выборочные дисперсии:
При проверке предположения о наличии во временном ряду трендовой компоненты выдвигается основная гипотеза о равенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей:
H0:μi=μj.
Альтернативной или обратной является гипотеза о неравенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей:
H0:μi≠μj.
Основная гипотеза вида H0:μi=μj проверяется при справедливости предположения о равенстве генеральных дисперсий:
Гипотеза о равенстве дисперсий проверяется с помощью F-критерия Фишера.
Наблюдаемое значение F-критерия сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора.
Критическое значение F-критерия Фишера определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора в зависимости от уровня значимости а и двух степеней свободы
k1=n–1 и k2=N–n–2.
Наблюдаемое значение F-критерия при проверке основной гипотезы вида
определяется по формуле:
при условии, что
При проверке выдвинутых гипотез возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл>Fкрит, то основная гипотеза отклоняется.
Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т.е. Fнабл≤Fкрит, то основная гипотеза принимается.
Гипотеза о равенстве генеральных средних проверяется с помощью t-критерия Стьюдента.
Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.
Критическое значение t-критерия tкрит(а,N–2) определяется по таблице распределения Стьюдента, где а – уровень значимости, (N–2) – число степеней свободы.
Наблюдаемое значение t-критерия при проверке основной гипотезы вида H0:μi=μj определяется по формуле:
При проверке гипотез возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл>tкрит, то основная гипотеза отвергается, и генеральные средние двух выборок не равны между собой. Следовательно, в исходном временном ряду присутствует трендовая компонента.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т.е. tнабл≤tкрит, то основная гипотеза принимается, и генеральные средние двух выборок равны между собой. Следовательно, в исходном временном ряду отсутствует трендовая компонента.