83. Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) была предложена американскими учёными Боксом и Дженкинсом в 1976 г. как один из методов оценки неизвестных параметров и прогнозирования временных рядов.
Моделью авторегрессиии проинтегрированного скользящего среднего называется модель, которая применяется при моделировании нестационарных временных рядов.
Нестационарный временной ряд характеризуется непостоянными математическим ожиданием, дисперсией, автоковариацией и автокорреляцией.
В основе модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего лежат два процесса:
1) процесс авторегрессии;
2) процесс скользящего среднего.
Процесс авторегрессии может быть представлен в виде:
xt=a+δ1xt-1+δ2xt-2+…+εt,
где a – свободный член модели, являющийся константой;
δ1 δ2…— параметры модели авторегрессии;
ε – случайное воздействие (ошибка модели).
Каждое наблюдение в модели авторегрессии представляет собой сумму случайной компоненты и линейной комбинации предыдущих наблюдений.
Процесс скользящего среднего может быть представлен в виде:
xt=μ+εt–θ1εt–1–θ2εt–2–…
где μ – свободный член модели, являющийся константой;
θ1 θ2… – параметры модели скользящего среднего;
ε – случайное воздействие (ошибка модели).
Текущее наблюдение в модели скользящего среднего представляет собой сумму случайной компоненты в данный момент времени и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени.
Следовательно, в общем виде модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего описывается формулой:
где С – свободный член модели, являющийся константой;
εt – некомпенсированный моделью случайный остаток.
В обозначениях Бокса и Дженкинса модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего записывается как АРПСС(p,d,q) или ARIMA (p,d,q), где
p – параметры процесса авторегрессии;
d – порядок разностного оператора;
q – параметры процесса скользящего среднего.
Для рядов с периодической сезонной компонентой применяется модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего с сезонностью, которая в обозначениях Бокса и Дженкинса записывается как АРПСС (p,d,q) (ps,ds,qs), где
ps – сезонная авторегрессия;
ds – сезонный разностный оператор;
qs – сезонное скользящее среднее.
Моделирование нестационарных временных рядов с помощью модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего осуществляется в три этапа:
1) проверка временного ряда на стационарность;
2) идентификация порядка модели и оценивание неизвестных параметров;
3) прогноз.
Применение модели АРПСС предполагает обязательную стационарность исследуемого ряда, поэтому на первом этапе данное предположение проверяется с помощью автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда остатков. Остатки представляют собой разности наблюдаемого временного ряда и значений, вычисленных с помощью модели.
Устранить нестационарность временного ряда можно с помощью метода разностных операторов.
Разностным оператором первого порядка называется замена исходного уровня временного ряда разностями первого порядка:
Разностные операторы первого порядка позволяет исключить линейные тренды.
Разностные операторы второго порядка позволяют исключить параболические тренды.
Сезонные разностные операторы предназначены для исключения 12-ти или 4-х периодичной сезонности:
Если модель содержит и трендовую, и сезонную компоненты, то необходимо применять оба оператора.
На втором этапе необходимо решить, сколько параметров авторегрессии и скользящего среднего должно войти в модель.
В процессе оценивания порядка модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего применяется квазиньютоновский алгоритм максимизации правдоподобия наблюдения значений ряда по значениям параметров. При этом минимизируется (условная) сумма квадратов остатков модели. Для оценки значимости параметров используется t-статистика Стьюдента. Если значения вычисляемой t-статистики не значимы, соответствующие параметры в большинстве случаев удаляются из модели без ущерба подгонки.
Полученные оценки параметров используются на последнем этапе для того, чтобы вычислить новые значения ряда и построить доверительный интервал для прогноза.
Оценкой точности прогноза, сделанного на основе модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего является среднеквадратическая ошибка (mean square), вычисляемая по формуле:
Чем меньше данный показатель, тем точнее прогноз.
Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего считается адекватной исходным данным, если остатки модели являются некоррелированными нормально распределёнными случайными величинами.
Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) была предложена американскими учёными Боксом и Дженкинсом в 1976 г. как один из методов оценки неизвестных параметров и прогнозирования временных рядов.
Моделью авторегрессиии проинтегрированного скользящего среднего называется модель, которая применяется при моделировании нестационарных временных рядов.
Нестационарный временной ряд характеризуется непостоянными математическим ожиданием, дисперсией, автоковариацией и автокорреляцией.
В основе модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего лежат два процесса:
1) процесс авторегрессии;
2) процесс скользящего среднего.
Процесс авторегрессии может быть представлен в виде:
xt=a+δ1xt-1+δ2xt-2+…+εt,
где a – свободный член модели, являющийся константой;
δ1 δ2…— параметры модели авторегрессии;
ε – случайное воздействие (ошибка модели).
Каждое наблюдение в модели авторегрессии представляет собой сумму случайной компоненты и линейной комбинации предыдущих наблюдений.
Процесс скользящего среднего может быть представлен в виде:
xt=μ+εt–θ1εt–1–θ2εt–2–…
где μ – свободный член модели, являющийся константой;
θ1 θ2… – параметры модели скользящего среднего;
ε – случайное воздействие (ошибка модели).
Текущее наблюдение в модели скользящего среднего представляет собой сумму случайной компоненты в данный момент времени и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени.
Следовательно, в общем виде модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего описывается формулой:
где С – свободный член модели, являющийся константой;
εt – некомпенсированный моделью случайный остаток.
В обозначениях Бокса и Дженкинса модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего записывается как АРПСС(p,d,q) или ARIMA (p,d,q), где
p – параметры процесса авторегрессии;
d – порядок разностного оператора;
q – параметры процесса скользящего среднего.
Для рядов с периодической сезонной компонентой применяется модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего с сезонностью, которая в обозначениях Бокса и Дженкинса записывается как АРПСС (p,d,q) (ps,ds,qs), где
ps – сезонная авторегрессия;
ds – сезонный разностный оператор;
qs – сезонное скользящее среднее.
Моделирование нестационарных временных рядов с помощью модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего осуществляется в три этапа:
1) проверка временного ряда на стационарность;
2) идентификация порядка модели и оценивание неизвестных параметров;
3) прогноз.
Применение модели АРПСС предполагает обязательную стационарность исследуемого ряда, поэтому на первом этапе данное предположение проверяется с помощью автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда остатков. Остатки представляют собой разности наблюдаемого временного ряда и значений, вычисленных с помощью модели.
Устранить нестационарность временного ряда можно с помощью метода разностных операторов.
Разностным оператором первого порядка называется замена исходного уровня временного ряда разностями первого порядка:
Разностные операторы первого порядка позволяет исключить линейные тренды.
Разностные операторы второго порядка позволяют исключить параболические тренды.
Сезонные разностные операторы предназначены для исключения 12-ти или 4-х периодичной сезонности:
Если модель содержит и трендовую, и сезонную компоненты, то необходимо применять оба оператора.
На втором этапе необходимо решить, сколько параметров авторегрессии и скользящего среднего должно войти в модель.
В процессе оценивания порядка модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего применяется квазиньютоновский алгоритм максимизации правдоподобия наблюдения значений ряда по значениям параметров. При этом минимизируется (условная) сумма квадратов остатков модели. Для оценки значимости параметров используется t-статистика Стьюдента. Если значения вычисляемой t-статистики не значимы, соответствующие параметры в большинстве случаев удаляются из модели без ущерба подгонки.
Полученные оценки параметров используются на последнем этапе для того, чтобы вычислить новые значения ряда и построить доверительный интервал для прогноза.
Оценкой точности прогноза, сделанного на основе модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего является среднеквадратическая ошибка (mean square), вычисляемая по формуле:
Чем меньше данный показатель, тем точнее прогноз.
Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего считается адекватной исходным данным, если остатки модели являются некоррелированными нормально распределёнными случайными величинами.