57. Гетероскедастичность остатков модели регрессии

К оглавлению 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Случайной ошибкой называется отклонение в линейной модели множественной регрессии:

εi=yi–β0–β1x1i–…–βmxmi

В связи с тем, что величина случайной ошибки модели регрессии является неизвестной величиной, рассчитывается выборочная оценка случайной ошибки модели регрессии по формуле:

где ei – остатки модели регрессии.

Термин гетероскедастичность в широком смысле понимается как предположение о дисперсии случайных ошибок модели регрессии.

При построении нормальной линейной модели регрессии учитываются следующие условия, касающиеся случайной ошибки модели регрессии:

6) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

7) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:

8) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т. е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):

Второе условие

означает гомоскедастичность (homoscedasticity – однородный разброс) дисперсий случайных ошибок модели регрессии.

Под гомоскедастичностью понимается предположение о том, что дисперсия случайной ошибки βi является известной постоянной величиной для всех наблюдений.

Но на практике предположение о гомоскедастичности случайной ошибки βi или остатков модели регрессии ei выполняется не всегда.

Под гетероскедастичностью (heteroscedasticity – неоднородный разброс) понимается предположение о том, что дисперсии случайных ошибок являются разными величинами для всех наблюдений, что означает нарушение второго условия нормальной линейной модели множественной регрессии:

Гетероскедастичность можно записать через ковариационную матрицу случайных ошибок модели регрессии:

Тогда можно утверждать, что случайная ошибка модели регрессии βi подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2Ω:

εi~N(0; G2Ω),

где Ω – матрица ковариаций случайной ошибки.

Если дисперсии случайных ошибок

модели регрессии известны заранее, то проблема гетероскедастичности легко устраняется. Однако в большинстве случаев неизвестными являются не только дисперсии случайных ошибок, но и сама функция регрессионной зависимости y=f(x), которую предстоит построить и оценить.

Для обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии необходимо провести их анализ. При этом проверяются следующие гипотезы.

Основная гипотеза H0 предполагает постоянство дисперсий случайных ошибок модели регрессии, т. е. присутствие в модели условия гомоскедастичности:

Альтернативная гипотеза H1 предполагает непостоянство дисперсиий случайных ошибок в различных наблюдениях, т. е. присутствие в модели условия гетероскедастичности:

Гетероскедастичность остатков модели регрессии может привести к негативным последствиям:

1) оценки неизвестных коэффициентов нормальной линейной модели регрессии являются несмещёнными и состоятельными, но при этом теряется свойство эффективности;

2) существует большая вероятность того, что оценки стандартных ошибок коэффициентов модели регрессии будут рассчитаны неверно, что конечном итоге может привести к утверждению неверной гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и значимости модели регрессии в целом.