4. Особенности расчета тарифных ставок по страхованию жизни

Размер нетто-ставки страхового взноса по страхованию жизни ис-

числяется в зависимости от следующих факторов:

1) возраста и пола страхователя на момент вступления договора

страхования в силу либо застрахованного лица, если договор страхования

заключается о страховании третьего лица;

2) вида, размера и срока выплаты страхового обеспечения;

3) срока и периода уплаты страховых взносов;

4) срока действия договора страхования;

5) планируемой нормы доходности от инвестирования средств стра-

ховых резервов по страхованию жизни, принятой при расчете.

Основными материалами для расчета тарифных ставок являются

таблицы смертности и средней продолжительности жизни (см. табл. 7.2). В

расчетах применяются следующие показатели и условия:

♦ показатель вероятности умереть в течение определенного го-

да жизни

q d / l , x x x =

где qx – вероятность умереть в возрасте x лет;

dx – число умирающих при переходе от возраста x к возрасту x+1 лет;

Ix – число доживающих до возраста x лет;

♦ вероятность дожития до определенного возраста

P 1 q , x x = −

где Px – вероятность дожить до возраста x лет.

Так как страховщик использует полученные страховые взносы как

кредитные ресурсы, получая определенный доход, то при расчете тариф-

ной ставки учитывается норма доходности (процентная ставка) – i. Для уменьшения нарастающих процентов на сумму страховых взносов заранее

проводится дисконтирование:

,

(1 i )

v 1 n

n

+

=

где vn – дисконтирующий множитель;

i – норма доходности;

n – время оборота суммы, лет.

С учетом этого единовременная ставка по страхованию на до-

житие имеет вид:

S,

I

E I v

x

n

x n

n x ∗

∗

= +

где nEx – единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие

для лица в возрасте x лет, при сроке страхования n лет;

Ix+n – число лиц, доживших до окончания срока страхования;

Ix – число лиц, заключивших договоры в возрасте x лет;

vn – дисконтирующий множитель;

S – страховая сумма.

Например, при страховании лица в возрасте 40 лет на срок 5 лет (см.

табл. 7.1) со страховой суммой 100 д. ед. при норме доходности в 3% еди-

новременная нетто-ставка будет равна:

100 84.40 д.ед.

92590

E 90650 0,8626 5 40 ∗ =

∗

=

Таблица 7.2

Фрагмент таблиц смертности и коммутационных чисел

Возраст x

лет

Ix dx Dx = Ix * vx Mx

(1) (2) (3) (4) (5)

40 92590 336 28388 11033

41 92275 359 27461 10933

42 91924 388 26566 10829

43 91526 418 25673 10720

44 91083 450 24811 10606

45 90650 484 23968 10487

46 90163 530 23145 10362

47 89643 570 22339 10230

Таблица составлена при норме доходности 3%.

Единовременная нетто-ставка на случай смерти:

S,

I

A d v d v ... d v

x

n

x n 1

2

x x 1

n x ∗

∗ + ∗ + + ∗

= = + −

где nAx – единовременная нетто-ставка по страхованию на случай

смерти для лица в возрасте x лет сроком на n лет;

dx, dx+1, ... dx+n -1 – число умирающих в течение срока страхования.

В нашем примере единовременная нетто-ставка на случай смерти

равна:

450 0,8626 100 1.93 д.ед.

92590

A 336 0,9709 359 0,9426 388 0,9151 418 0,8988 5 40

∗ =

+ ∗

=

=

∗ + ∗ + ∗ + ∗ +

=

Единовременная нетто-ставка по страхованию ренты пред-

полагает выплату застрахованному лицу в установленные сроки опреде-

ленного регулярного дохода

Если предстоящие платежи равны между собой и производятся еже-

годно в течение n лет, в начале каждого года, то такой ряд платежей назы-

вается немедленной временной рентой, уплачиваемой вперед – прену-

мерандо (praenumerando); если платежи производятся в конце каждого го-

да, то такой ряд платежей называется немедленной временной рентой,

уплачиваемой за истекшее время – постнумерандо (postnumerando).

,

I

w x I I v I v ... I v

x

w x

w

2

a x x 1 x 2

−

+ + + ∗ + ∗ + + ∗

=

где wax – единовременная нетто-ставка по страхованию пожизнен-

ной ренты (пенсии) – пренумерандо;

Ix + Ix+1 * v + Ix+2 * v2 + ...+ Iw * vw-x – современная стоимость (капитали-

зированная стоимость) финансовых обязательств страховщика, относя-

щихся ко всем Ix лицам (при размере ежегодной ренты – 1 д.ед.);

w – предельный возраст таблицы смертности.

На практике рассчитываются также отсроченные ренты – ежегод-

ные платежи, выплата которых начинается не с первого года страхования,

а по истечении ряда лет, и вечные ренты – ежегодные платежи, которые

не прекращаются.

Рента может выплачиваться пожизненно, в течение определенного

ряда лет, в начале или в конце каждого страхового года

,

I

a I I v I v ... I v

x

n 1

x n 1

2

x x 1 x 2

n x

−

+ + + − + ∗ + ∗ + + ∗

=

nax – единовременная нетто-ставка по страхованию ренты в течение

n лет – пренумерандо или

,

I

a I v I v ... I v

x

n

x n

2

x 1 x 2

n x

∗ + ∗ + + ∗

= + + +

nax – единовременная нетто-ставка по страхованию ренты в течение

n лет – постнумерандо.

147

Для унификации актуарных расчетов применяются специальные тех-

нические показатели – коммутационные числа (лат. commutatio – изме-

нение, перемена):

Dx = Ix * vx;

Nx = Dx + Dx+1 +...+Dw;

Cx= dx * vx,1;

Mx = Cx + ... + Cw;

Rx = Mx + ... + Mw.

Применяя коммутационные числа, формулу единовременной нетто-

ставки по дожитию можно записать как:

n x x n x E D / D + = .

В нашем примере единовременная нетто-ставка на дожитие равна:

E 23968 / 28388 100 84.40 д.ед. 5 40 = ∗ =

Единовременная нетто-ставка пожизненного страхования на случай

смерти:

Dx

Mx Mx n

n Ax

− +

= и т.п.

Договор страхования жизни может предусматривать различные вари-

анты рассроченной ежегодной уплаты взносов, которые могут быть клас-

сифицированы по различным признакам. Так, по продолжительности уп-

латы взносов их принято делить на взносы, уплаченные в течение опре-

деленного периода времен, и взносы, уплачиваемые пожизненно. По со-

отношению между началом уплаты взносов и началом действия догово-

ра страхования принято различать взносы, немедленно начинающиеся, и

взносы, уплата которых отсрочена. В зависимости от числа выплат на

протяжении года взносы бывают годовыми, полугодовыми, месячными, m-

срочными и исчисляются с помощью коэффициентов рассрочки (ан-

нуитетов)

,

a

P Ed

n x

n x

n x =

где nPx – годичный взнос;

nEdx – единовременный взнос;

nax – коэффициент рассрочки.

Коэффициент рассрочки (рента – постнумерандо или пренумерандо)

представляет собой стоимость взносов в размере 1 д. ед., производимых в

течение определенного срока в конце или начале каждого страхового года.

Абсолютные значения коэффициентов рассрочки близки к значению

n – лет страхования, но несколько ниже его, в результате размеры годич-

ных ставок получаются более высокими, чем при простом делении едино-

временной ставки на количество лет страхования. Таким путем нивелиру-

ются потери на процентах и учитывается постепенное уменьшение числа

лиц, уплачивающих взносы.

Аналогичным путем определяются нетто-ставки по другим видам

страхования жизни с разными вариантами по уплате страховых взносов и выплате страховых сумм, срокам страхования и нормам доходности, ко-

эффициентам рассрочки (аннуитетам) и т.д.

Размер нетто-ставки страхового взноса по страхованию жизни ис-

числяется в зависимости от следующих факторов:

1) возраста и пола страхователя на момент вступления договора

страхования в силу либо застрахованного лица, если договор страхования

заключается о страховании третьего лица;

2) вида, размера и срока выплаты страхового обеспечения;

3) срока и периода уплаты страховых взносов;

4) срока действия договора страхования;

5) планируемой нормы доходности от инвестирования средств стра-

ховых резервов по страхованию жизни, принятой при расчете.

Основными материалами для расчета тарифных ставок являются

таблицы смертности и средней продолжительности жизни (см. табл. 7.2). В

расчетах применяются следующие показатели и условия:

♦ показатель вероятности умереть в течение определенного го-

да жизни

q d / l , x x x =

где qx – вероятность умереть в возрасте x лет;

dx – число умирающих при переходе от возраста x к возрасту x+1 лет;

Ix – число доживающих до возраста x лет;

♦ вероятность дожития до определенного возраста

P 1 q , x x = −

где Px – вероятность дожить до возраста x лет.

Так как страховщик использует полученные страховые взносы как

кредитные ресурсы, получая определенный доход, то при расчете тариф-

ной ставки учитывается норма доходности (процентная ставка) – i. Для уменьшения нарастающих процентов на сумму страховых взносов заранее

проводится дисконтирование:

,

(1 i )

v 1 n

n

+

=

где vn – дисконтирующий множитель;

i – норма доходности;

n – время оборота суммы, лет.

С учетом этого единовременная ставка по страхованию на до-

житие имеет вид:

S,

I

E I v

x

n

x n

n x ∗

∗

= +

где nEx – единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие

для лица в возрасте x лет, при сроке страхования n лет;

Ix+n – число лиц, доживших до окончания срока страхования;

Ix – число лиц, заключивших договоры в возрасте x лет;

vn – дисконтирующий множитель;

S – страховая сумма.

Например, при страховании лица в возрасте 40 лет на срок 5 лет (см.

табл. 7.1) со страховой суммой 100 д. ед. при норме доходности в 3% еди-

новременная нетто-ставка будет равна:

100 84.40 д.ед.

92590

E 90650 0,8626 5 40 ∗ =

∗

=

Таблица 7.2

Фрагмент таблиц смертности и коммутационных чисел

Возраст x

лет

Ix dx Dx = Ix * vx Mx

(1) (2) (3) (4) (5)

40 92590 336 28388 11033

41 92275 359 27461 10933

42 91924 388 26566 10829

43 91526 418 25673 10720

44 91083 450 24811 10606

45 90650 484 23968 10487

46 90163 530 23145 10362

47 89643 570 22339 10230

Таблица составлена при норме доходности 3%.

Единовременная нетто-ставка на случай смерти:

S,

I

A d v d v ... d v

x

n

x n 1

2

x x 1

n x ∗

∗ + ∗ + + ∗

= = + −

где nAx – единовременная нетто-ставка по страхованию на случай

смерти для лица в возрасте x лет сроком на n лет;

dx, dx+1, ... dx+n -1 – число умирающих в течение срока страхования.

В нашем примере единовременная нетто-ставка на случай смерти

равна:

450 0,8626 100 1.93 д.ед.

92590

A 336 0,9709 359 0,9426 388 0,9151 418 0,8988 5 40

∗ =

+ ∗

=

=

∗ + ∗ + ∗ + ∗ +

=

Единовременная нетто-ставка по страхованию ренты пред-

полагает выплату застрахованному лицу в установленные сроки опреде-

ленного регулярного дохода

Если предстоящие платежи равны между собой и производятся еже-

годно в течение n лет, в начале каждого года, то такой ряд платежей назы-

вается немедленной временной рентой, уплачиваемой вперед – прену-

мерандо (praenumerando); если платежи производятся в конце каждого го-

да, то такой ряд платежей называется немедленной временной рентой,

уплачиваемой за истекшее время – постнумерандо (postnumerando).

,

I

w x I I v I v ... I v

x

w x

w

2

a x x 1 x 2

−

+ + + ∗ + ∗ + + ∗

=

где wax – единовременная нетто-ставка по страхованию пожизнен-

ной ренты (пенсии) – пренумерандо;

Ix + Ix+1 * v + Ix+2 * v2 + ...+ Iw * vw-x – современная стоимость (капитали-

зированная стоимость) финансовых обязательств страховщика, относя-

щихся ко всем Ix лицам (при размере ежегодной ренты – 1 д.ед.);

w – предельный возраст таблицы смертности.

На практике рассчитываются также отсроченные ренты – ежегод-

ные платежи, выплата которых начинается не с первого года страхования,

а по истечении ряда лет, и вечные ренты – ежегодные платежи, которые

не прекращаются.

Рента может выплачиваться пожизненно, в течение определенного

ряда лет, в начале или в конце каждого страхового года

,

I

a I I v I v ... I v

x

n 1

x n 1

2

x x 1 x 2

n x

−

+ + + − + ∗ + ∗ + + ∗

=

nax – единовременная нетто-ставка по страхованию ренты в течение

n лет – пренумерандо или

,

I

a I v I v ... I v

x

n

x n

2

x 1 x 2

n x

∗ + ∗ + + ∗

= + + +

nax – единовременная нетто-ставка по страхованию ренты в течение

n лет – постнумерандо.

147

Для унификации актуарных расчетов применяются специальные тех-

нические показатели – коммутационные числа (лат. commutatio – изме-

нение, перемена):

Dx = Ix * vx;

Nx = Dx + Dx+1 +...+Dw;

Cx= dx * vx,1;

Mx = Cx + ... + Cw;

Rx = Mx + ... + Mw.

Применяя коммутационные числа, формулу единовременной нетто-

ставки по дожитию можно записать как:

n x x n x E D / D + = .

В нашем примере единовременная нетто-ставка на дожитие равна:

E 23968 / 28388 100 84.40 д.ед. 5 40 = ∗ =

Единовременная нетто-ставка пожизненного страхования на случай

смерти:

Dx

Mx Mx n

n Ax

− +

= и т.п.

Договор страхования жизни может предусматривать различные вари-

анты рассроченной ежегодной уплаты взносов, которые могут быть клас-

сифицированы по различным признакам. Так, по продолжительности уп-

латы взносов их принято делить на взносы, уплаченные в течение опре-

деленного периода времен, и взносы, уплачиваемые пожизненно. По со-

отношению между началом уплаты взносов и началом действия догово-

ра страхования принято различать взносы, немедленно начинающиеся, и

взносы, уплата которых отсрочена. В зависимости от числа выплат на

протяжении года взносы бывают годовыми, полугодовыми, месячными, m-

срочными и исчисляются с помощью коэффициентов рассрочки (ан-

нуитетов)

,

a

P Ed

n x

n x

n x =

где nPx – годичный взнос;

nEdx – единовременный взнос;

nax – коэффициент рассрочки.

Коэффициент рассрочки (рента – постнумерандо или пренумерандо)

представляет собой стоимость взносов в размере 1 д. ед., производимых в

течение определенного срока в конце или начале каждого страхового года.

Абсолютные значения коэффициентов рассрочки близки к значению

n – лет страхования, но несколько ниже его, в результате размеры годич-

ных ставок получаются более высокими, чем при простом делении едино-

временной ставки на количество лет страхования. Таким путем нивелиру-

ются потери на процентах и учитывается постепенное уменьшение числа

лиц, уплачивающих взносы.

Аналогичным путем определяются нетто-ставки по другим видам

страхования жизни с разными вариантами по уплате страховых взносов и выплате страховых сумм, срокам страхования и нормам доходности, ко-

эффициентам рассрочки (аннуитетам) и т.д.