4.3.2. Элементы теории процентов

В процессе наращения и дисконтирования денег рассматриваются следующие четыре взаимосвязанных фактора:

современное значение денег (PV),

будущее значение денег (FV),

время, выраженное в днях t или количестве периодов n,

норма доходности (процентная ставка).

Характер взаимоотношения между ними определяется способом начисления доходности, или чаще говорят – процентов.              Различают две схемы начисления процентов: простые проценты и сложные проценты.

Простые проценты.  В схеме простых процентов начисление дохода на инвестированную сумму денег осуществляется всегда исходя из начальной суммы инвестиций.

Пусть инвестор разместил на депозитном счету 1000 грн. при процентной ставке 40 простых годовых процентов. В случае, если он не будет снимать деньги со своего счета через год он будет иметь 

FV = 1000 + 400 = 1400 грн.,

А через два года

FV = 1000 + 400 + 400 = 1800 грн.

Таким образом, общая формула начисления простых процентов имеет следующий вид

                                                           .                                                       (4. 3)

В формуле (4.3) n может иметь дробное значение, когда речь идет о части периода (года), например, если банк выдал ссуду на t дней, а в году 365 дней, то

                                                    .                                                                      (4.3')

Кредитная сделка может производиться при изменяющейся процентной ставке. В этом случае существует некоторая временная решетка процентной ставки

и наращение производиться по формуле

                                                      ,                                                   (4.3")

где N – общее количество значений в решетке;

      ni – общее количество периодов, в течение которых действует процентная ставка ri .

Дисконтирование при простых процентах осуществляется с помощью формулы, которая получается путем обращения (4.3):

                                                    .                                                  (4.4)

Проиллюстрируем феномен дисконтирования с помощью следующего примера. Вы собирается накопить 50000 грн. в течение года посредством банковского депозита, который предлагает ежемесячное начисление простых процентов по месячной процентной ставке 5%. Какую сумму необходимо положить на депозит?

Из формулы (4.4) следует

.

Наращение и дисконтирование с помощью учетной ставки. В некоторых случаях в качестве базы для оценки доходности финансового инструмента используется не современное, а будущее значение. В этом случае норма доходности называется учетной ставкой (а не процентной ставкой). Наиболее распространенной областью применения учетной ставки является учет векселей. Суть учетной ставки состоит в том, что  доход инвестора начисляется на сумму, подлежащую к оплате в конце срока кредитования, а не на начальную сумму.

Формулу для учетной ставки получим по аналогии в формулой для процентной ставки. 

Для процентной ставки из формулы (4.3) получим:

По аналогии определим учетную ставку d, как следующее отношение

Отсюда легко следует формула для дисконтирования в случае использования учетной ставки для схемы простых процентов.

                                                            .                                                     (4.5)

Формула для наращения с использованием учетной ставки получается путем обращения формулы для дисконтирования:

                                                               .                                                        (4.6)

            Пример. Переводной вексель, тратта, выдан на сумму 100 тыс. грн. с уплатой по векселю 25 апреля. Держатель векселя учел его в банке 11 февраля. На этот момент учетная ставка по векселям в этом банке составляла 12%. Определить величину дисконта, которую банк произвел в момент учета векселя и сумму, которую получил держатель векселя.

            Сопоставляя даты учета и погашения векселя, определим, что до погашения осталось 73 дня. Таким образом, дисконт по векселю составит

D = 100000 · 73 / 365 · 0.12 = 2400 грн.,

а владелец векселя (теперь уже бывший) получит

PV = 100000 – 2400 = 97600 грн.

Сравним результаты дисконтирования с использованием учетной и процентной ставок. Для этого воспользуемся формулой для дисконтирования

,

в которой множитель дисконтирования будем вычислять следующим образом:

для процентной ставки

,

для учетной ставки

.

            Результаты сравнения представлены в таблице.

При дисконтировании с помощью учетной ставки возникает методический парадокс: дисконтированное значение может стать 0 или даже отрицательным. На практике такого не бывает, так как вексель исключительно краткосрочный инструмент заимствования.

Сложные проценты.  Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

При норме доходности r имеем:

в первый год: ,

во второй год:   и т. д.

Таким образом, общая формула для начисления сложных процентов имеет следующий вид

                                                            .                                                        (4.7)

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы

                                                             .                                                               (4.8)

Если  процентная ставка изменяется в различные периоды времени, т.е.

В этом случае формулы (4.7) и (4.8) обобщаются следующим образом:

 или

                                                          .                                                      (4.7')

                                                          .                                                          (4.8')

Рассмотрим соотношение между показателями наращения для простых и сложных процентов.  С помощью простых алгебраических рассуждений нетрудно установить,

если n < 1 года, то  , инвестировать при простых процентах более выгодно,

если n ³ 1 года, то  , то предпочтительней для инвестора является схема сложных процентов.

Пусть проценты начисляются т раз в году, тогда процентная ставка в пересчете на период будет равна r/m, а количество периодов будет равным nm. В соответствии с исходной формулой (4.3) в этом случае наращение будет производиться с помощью следующего соотношения:

                                                           .                                                      (4.9)

Формула для вычисления настоящей стоимости также принимает следующий обобщенный вид:

                                                         .                                                   (4.10)

Пример. Что более выгодно при вложении денег на 2 года:  процентная ставка 40% годовых при начислении процентов 2 раза в год, либо ставка 38% годовых, начисляемых 12 раз в год?

Рассчитаем показатель наращения с помощью формулы (4.9):

,

.

Очевидно, что второй вариант предпочтительней.

Для сравнения эффективности вложения денег при различном количестве начислений процентов в году вводят понятие эффективной процентной ставки: это процентная ставка такого вложения денег, при котором начисление процентов происходит только 1 раз в конце года и это равносильно по конечному результату конкретной схемы начисления процентов, для которой определяется эффективная процентная ставка.

По определению эффективной процентной ставки имеем одну и ту же величину будущего значения денег, полученных

при начислении процентов m раз в году при номинальной процентной ставке r,

 и

при начислении процентов один раз в году при процентной ставке rэ:

.

Следовательно

,

откуда легко следует

                                                              .                                                       (4.11)

Влияние числа начислений процентов на эффективность инвестирования денег при неизменной годовой процентной ставке иллюстрируется ниже.

Наращение и дисконтирование производится с использованием учетной ставки по схеме сложных процентов производится аналогично, но расчетные формулы отличаются. С помощью простых рассуждений можно доказать, что

                                                               .                                                      (4.12)

Если начисление процентов производится т раз в году, то формула (12) будет иметь вид

                                                              .                                                 (4.12')

Формулы для наращения при использовании учетной ставки легко получаются из формул дисконтирования путем простого обращения последних:

                                                ,                                                      (4.13)

                                                            .                                                       (4.13')

Пример. Вексель на 500 тыс. грн. учитывается банком по учетной ставке 15% при начислении процентов 12 раз в году. Вексель учитывается за 8 месяцев до погашения. Необходимо определить величину дисконта.

Воспользовавшись формулой (4.12') получим

.

Следовательно, дисконт составляет   500000 – 452130 = 47870 грн.

В процессе наращения и дисконтирования денег рассматриваются следующие четыре взаимосвязанных фактора:

современное значение денег (PV),

будущее значение денег (FV),

время, выраженное в днях t или количестве периодов n,

норма доходности (процентная ставка).

Характер взаимоотношения между ними определяется способом начисления доходности, или чаще говорят – процентов.              Различают две схемы начисления процентов: простые проценты и сложные проценты.

Простые проценты.  В схеме простых процентов начисление дохода на инвестированную сумму денег осуществляется всегда исходя из начальной суммы инвестиций.

Пусть инвестор разместил на депозитном счету 1000 грн. при процентной ставке 40 простых годовых процентов. В случае, если он не будет снимать деньги со своего счета через год он будет иметь 

FV = 1000 + 400 = 1400 грн.,

А через два года

FV = 1000 + 400 + 400 = 1800 грн.

Таким образом, общая формула начисления простых процентов имеет следующий вид

                                                           .                                                       (4. 3)

В формуле (4.3) n может иметь дробное значение, когда речь идет о части периода (года), например, если банк выдал ссуду на t дней, а в году 365 дней, то

                                                    .                                                                      (4.3')

Кредитная сделка может производиться при изменяющейся процентной ставке. В этом случае существует некоторая временная решетка процентной ставки

и наращение производиться по формуле

                                                      ,                                                   (4.3")

где N – общее количество значений в решетке;

      ni – общее количество периодов, в течение которых действует процентная ставка ri .

Дисконтирование при простых процентах осуществляется с помощью формулы, которая получается путем обращения (4.3):

                                                    .                                                  (4.4)

Проиллюстрируем феномен дисконтирования с помощью следующего примера. Вы собирается накопить 50000 грн. в течение года посредством банковского депозита, который предлагает ежемесячное начисление простых процентов по месячной процентной ставке 5%. Какую сумму необходимо положить на депозит?

Из формулы (4.4) следует

.

Наращение и дисконтирование с помощью учетной ставки. В некоторых случаях в качестве базы для оценки доходности финансового инструмента используется не современное, а будущее значение. В этом случае норма доходности называется учетной ставкой (а не процентной ставкой). Наиболее распространенной областью применения учетной ставки является учет векселей. Суть учетной ставки состоит в том, что  доход инвестора начисляется на сумму, подлежащую к оплате в конце срока кредитования, а не на начальную сумму.

Формулу для учетной ставки получим по аналогии в формулой для процентной ставки. 

Для процентной ставки из формулы (4.3) получим:

По аналогии определим учетную ставку d, как следующее отношение

Отсюда легко следует формула для дисконтирования в случае использования учетной ставки для схемы простых процентов.

                                                            .                                                     (4.5)

Формула для наращения с использованием учетной ставки получается путем обращения формулы для дисконтирования:

                                                               .                                                        (4.6)

            Пример. Переводной вексель, тратта, выдан на сумму 100 тыс. грн. с уплатой по векселю 25 апреля. Держатель векселя учел его в банке 11 февраля. На этот момент учетная ставка по векселям в этом банке составляла 12%. Определить величину дисконта, которую банк произвел в момент учета векселя и сумму, которую получил держатель векселя.

            Сопоставляя даты учета и погашения векселя, определим, что до погашения осталось 73 дня. Таким образом, дисконт по векселю составит

D = 100000 · 73 / 365 · 0.12 = 2400 грн.,

а владелец векселя (теперь уже бывший) получит

PV = 100000 – 2400 = 97600 грн.

Сравним результаты дисконтирования с использованием учетной и процентной ставок. Для этого воспользуемся формулой для дисконтирования

,

в которой множитель дисконтирования будем вычислять следующим образом:

для процентной ставки

,

для учетной ставки

.

            Результаты сравнения представлены в таблице.

При дисконтировании с помощью учетной ставки возникает методический парадокс: дисконтированное значение может стать 0 или даже отрицательным. На практике такого не бывает, так как вексель исключительно краткосрочный инструмент заимствования.

Сложные проценты.  Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

При норме доходности r имеем:

в первый год: ,

во второй год:   и т. д.

Таким образом, общая формула для начисления сложных процентов имеет следующий вид

                                                            .                                                        (4.7)

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы

                                                             .                                                               (4.8)

Если  процентная ставка изменяется в различные периоды времени, т.е.

В этом случае формулы (4.7) и (4.8) обобщаются следующим образом:

 или

                                                          .                                                      (4.7')

                                                          .                                                          (4.8')

Рассмотрим соотношение между показателями наращения для простых и сложных процентов.  С помощью простых алгебраических рассуждений нетрудно установить,

если n < 1 года, то  , инвестировать при простых процентах более выгодно,

если n ³ 1 года, то  , то предпочтительней для инвестора является схема сложных процентов.

Пусть проценты начисляются т раз в году, тогда процентная ставка в пересчете на период будет равна r/m, а количество периодов будет равным nm. В соответствии с исходной формулой (4.3) в этом случае наращение будет производиться с помощью следующего соотношения:

                                                           .                                                      (4.9)

Формула для вычисления настоящей стоимости также принимает следующий обобщенный вид:

                                                         .                                                   (4.10)

Пример. Что более выгодно при вложении денег на 2 года:  процентная ставка 40% годовых при начислении процентов 2 раза в год, либо ставка 38% годовых, начисляемых 12 раз в год?

Рассчитаем показатель наращения с помощью формулы (4.9):

,

.

Очевидно, что второй вариант предпочтительней.

Для сравнения эффективности вложения денег при различном количестве начислений процентов в году вводят понятие эффективной процентной ставки: это процентная ставка такого вложения денег, при котором начисление процентов происходит только 1 раз в конце года и это равносильно по конечному результату конкретной схемы начисления процентов, для которой определяется эффективная процентная ставка.

По определению эффективной процентной ставки имеем одну и ту же величину будущего значения денег, полученных

при начислении процентов m раз в году при номинальной процентной ставке r,

 и

при начислении процентов один раз в году при процентной ставке rэ:

.

Следовательно

,

откуда легко следует

                                                              .                                                       (4.11)

Влияние числа начислений процентов на эффективность инвестирования денег при неизменной годовой процентной ставке иллюстрируется ниже.

Наращение и дисконтирование производится с использованием учетной ставки по схеме сложных процентов производится аналогично, но расчетные формулы отличаются. С помощью простых рассуждений можно доказать, что

                                                               .                                                      (4.12)

Если начисление процентов производится т раз в году, то формула (12) будет иметь вид

                                                              .                                                 (4.12')

Формулы для наращения при использовании учетной ставки легко получаются из формул дисконтирования путем простого обращения последних:

                                                ,                                                      (4.13)

                                                            .                                                       (4.13')

Пример. Вексель на 500 тыс. грн. учитывается банком по учетной ставке 15% при начислении процентов 12 раз в году. Вексель учитывается за 8 месяцев до погашения. Необходимо определить величину дисконта.

Воспользовавшись формулой (4.12') получим

.

Следовательно, дисконт составляет   500000 – 452130 = 47870 грн.