4.4.1. Оценка стоимости облигации

Облигации делятся на купонные и бескупонные (дисконтные).Сначала рассмотрим эту задача  в классическом варианте для купонных облигаций. Согласно условиям инвестирования в эти долговые финансовые инструменты предприятие-эмитент облигаций обязуется производить периодический процентный платеж на годовой или полугодовой основе и погасить номинальную стоимость облигации к назначенному сроку окончания действия облигаций. Купонная облигация имеют следующие характеристики:

номинальную стоимость M ,

срок до погашения N ,

процентную ставку iн,

условия выплаты процентов (периодичность выплат m ).

Сущность оценки стоимости облигации состоит в том, что в течение срока существования облигации ее владелец должен получить ту же сумму, которую он вложил в облигацию при покупке. Особенность состоит в том, что совокупность платежей, которые должен получить владелец облигации растянута во времени, и, следовательно, все будущие денежные потоки необходимо продисконтировать к моменту времени, для которого производится оценка стоимости облигации. В качестве показателя дисконта необходимо принимать доходность аналогичных финансовых инструментов.

Математическая модель оценки денежной стоимости облигаций основана на дисконтировании денежных потоков, выплачиваемых на протяжении всего срока до погашения. Стоимость облигации в настоящий момент времени равна дисконтированной сумме всех денежных потоков, с ней связанных:

                            (4.25)

Пусть, к примеру, номинальное значение облигации составляет М = $1000. Помимо этого в контракте указываются

количество лет до погашения, N = 20 лет;

номинальная процентная ставка, ;

периодичность выплаты процентов, m = 1 год.

В соответствии с этим контрактом, инвестор имеет право получать ежегодно:

,

и получить еще $1000 через 20 лет.

Необходимо оценить рыночную стоимость облигации в изменяющихся условиях рынка.

Допустим, что в момент эмиссии облигации рыночная процентная ставка  равна номинальной. Мы хотим определить рыночную стоимость этой облигации в момент эмиссии. Воспользуемся формулой (4.25):

.

В результате решения получено , т.е. сделка является справедливой.

Пусть прошло 4 года. Инвестор получил 4 купона, т.е. 4 раза по $140. До погашения осталось 16 лет. Рыночная процентная ставка не изменилась, и она составляет 14%. Нужно снова оценить стоимость облигации по прошествии 4 лет.

.

Стоимость облигации закономерно осталась равной ее номиналу, т.к. ситуация на рынке не изменилась. Такая же ситуация сохранится на протяжении всего срока до погашения облигации, если процентная ставка на рынке не изменится.

Допустим, что средняя рыночная процентная ставка увеличилась на 2% и составляет 16%. До погашения облигации по-прежнему остается 16 лет. В этом случае стоимость данной облигации составит:

.

Это снижение стоимости имеет логическое объяснение. Поскольку по аналогичным финансовым инструментам инвесторы получают $160 в год на вложенные $1000, владельцы данной облигации будут стремиться избавиться от нее. Это создаст на фондовом рынке повышенное предложение и, вследствие чего, цена сделок будет падать, достигнув равновесного состояния в точке $886,6.

Итак, мы показали, что, имея облигацию, мы владеем суммой $886,6. Это приносит нам $140 дохода в год, что соответствует уровню доходности 16%.

Если рассмотреть противоположную ситуацию, когда средняя по рынку процентная ставка уменьшилась и составляет 12%, то следует ожидать повышения рыночной цены этой облигации, т.к. она приносит доходность большую, чем средняя по рынку. Это подтверждается расчетами:

Что, если купон выплачивается несколько (т) раз в году. В этом случае формула для расчета стоимости облигации изменится:

.                             

 Для условий предыдущего примера, когда процентная ставка составляет 12% и до погашения остается 16 лет, при полугодовой выплате процентов получим

.

В этом случае стоимость облигации оказалась несколько выше, так как процентные платежи инвестор получает более часто. И, следовательно, при возрастании стоимости облигации этот эффект должен сказаться на курсовой стоимости облигации.

Легко проверить, что для обоих рассмотренных случаев, если ситуация на рынке остается без изменения (т.е. сохраняется 16 или 12%), стоимость облигации приближается к номинальному значению:

• если облигация продается с дисконтом в момент времени «сейчас», то с течением времени стоимость облигации увеличивается и в пределе стремится к величине погашения.

• если облигация продается по цене выше номинала , то стоимость облигации снижается и предельно равна стоимости погашения.

Найденная с помощью формулы (4.25) стоимость не обязательно совпадает с той ценой, по которой облигация реально котируется на рынке.

,

где  - рыночная котировка облигации на момент времени сейчас.

Возникает задача, чему равна реальная доходность облигации, представленная в виде процентной ставки. Эта величина называется «доходностью к погашению» и обозначается . Используя базовое соотношение (4.25), можно определить с помощью уравнения:

,                                                        (4.26)

В самом деле, если облигация продается на рынке по цене , то эта цена должна быть «обеспечена» всеми последующими денежными поступлениями, но при условии, что норма доходности должна соответствовать этой цене.

Данное уравнение не решается в конечном виде. Приближенному данное уравнение можно решить с помощью финансового калькулятора или электронных таблиц Excel.

Пример. Пусть выпущена купонная облигация со сроком погашения 6 лет. Номинал облигации равен $1000, а годовая процентная ставка, определяющая годовой процентный платеж, составляет 10%. Рыночная процентная ставка равна 12%, рыночная котировка облигации $914. Выплата процентов по облигации проводится 1 раз в год.

Таблица денежных потоков, которые получит инвестор, имеет вид

 Определим рыночную цену облигации, используя формулу (4.25):

Найдем доходность к погашению  по формуле (4.26), решив следующее уравнение

Таким образом, суммарная доходность облигации к погашению составляет 12,1%.

Существуют облигации с правом отзыва, когда эмитент через своего финансового посредника имеет право выкупа облигации у инвестора, заплатив ему так называемую отзывную премию. Возможность отзыва облигации и отзывная премия меняют доходность данного финансового инструмента.

Пусть для условий предыдущего примера, время отзыва  составляет 3 года, а отзывная премия (СР) равна $50.

Денежные потоки, которые получит инвестор, имеют вид

Доходность облигации до отзыва определяется с помощью уравнения, аналогичного (4.26), решив которое мы определяем доходность облигации к отзыву Yc:

В данном случае эта доходность составляет Yc=15,22%.

Рассмотрим случай краткосрочных купонных облигаций. Пусть номинальная стоимость облигации составляет 100 грн. со сроком погашения через 364 дня. Процентные выплаты проводятся через каждые 91 день в размере 25 грн. Квартальная доходность аналогичных долговых обязательств составляет 10%.

Определим стоимость облигации на момент эмиссии с помощью формулы (4.25):

что определяет ожидаемую цену продажи.

По истечении одного квартала, т.е. когда первый купон был выплачен, процентная ставка на рынке драматично увеличилась до 18%. Предприятие хочет оценить, по какой цене эти облигации могут быть проданы на вторичном рынке. По-прежнему используем формулу (4.25):

Если же произойдут события аналогичные августу 1998г., то квартальная процентная ставка может увеличиться до 32%, и мы получим за одну облигацию всего:

         В связи с купонной облигацией часто используется понятие финансового показателя – дюрация (duration).Под дюрацией понимается средневзвешенная «зрелость» потока платежей, связанных с этой облигацией.

Расчетная формула для дюрации (D) имеет следующий вид:

            (4.27)

где tk – момент времени, в который происходит k-ая купонная выплата.

Смысл дюрации состоит в том, что инвестор пытается с ее помощью измерить риск своих вложений в облигации. В самом деле, по определению дюрация – это «временное ожидание» некоторого агрегированного денежного потока, который по финансовой значимости эквивалентен всей совокупности денежных выплат, связанных с облигацией.  Дюрация – это момент времени, когда происходит этот агрегированный платеж. Ясно, что, чем больше величина дюрации, тем более рискованным является вложение денег в данную облигацию. Наибольшую важность использование понятия дюрации имеет, когда оценивается портфель облигаций некоторого инвестора. Если в этом портфеле все облигации имеют большие значения  дюраций, то это – очень рискованный портфель. Инвестор должен стремиться к уменьшению дюраций портфеля.

            Пример. Рассмотрим облигацию, имеющую следующие показатели:

Выполнив элементарные расчеты, в том числе используя формулу (4.25), получим

            Расчет дюрации производим с использованием соотношения (4.27). Для этого устраиваем соответствующую таблицу.

Теперь несложно получить величину дюрации

            D = 8266.91/952.34 = 8.64 периода = 4.32 года.

            Бескупонная (дисконтная) облигация. Обратимся теперь к дисконтным облигациям, которые также имеют номинальную стоимость, которая выплачивается инвестору в момент погашения облигации. В процессе эмиссии такие облигации продаются со скидкой (дисконтом). Величина скидки определяется процентной ставкой по данной облигации. Как правило, дисконтные облигации имеют срок погашения от 1 до 3 лет, наиболее характерны одногодичные. Дальнейшее изучение оценки стоимости такой облигации проведем с помощью конкретного примера.

Пример. Предприятие А в день эмиссии приобрело по цене 82 грн. за штуку пакет дисконтных государственных облигаций с периодом обращения 365 дней и номинальной стоимость к погашению 100 грн. Доходность этого финансового инструмента на момент эмиссии составляла

            .

Через 165 дней, или за 200 дней до погашения облигации предприятие А решило реализовать на рынке этот пакет ценных бумаг, так как ему срочно понадобились деньги. Цена продажи была определена следующим образом:

.

Продавец дисконтировал стоимость облигации к погашению (100 гривень), использовав в качестве дисконтной ставки (21.95%) тот уровень доходности, который обеспечивал ему данный финансовый инструмент. Смысл этого расчета заключается в том, чтобы разделить первоначальную величину дисконтного дохода (100 - 82 = 18 гривень) между продавцом и покупателем в соответствии с продолжительностью периодов владения финансовым активом. Продавец владел активом 165 дней из 365, и он желает получить свою часть дисконтного дохода: 89.26 - 82 = 7.26 грн. с одной облигации. Покупателю (по мнению продавца) должна достаться та часть дисконтного дохода, которая соответствует 200 дням владения финансовым инструментом:

100 - 89.26 = 10.74 грн.

Институциональные инвесторы, желающие приобрести эти государственные облигации, считали предложенную цену завышенной, так как доминирующая процентная ставка на рынке аналогичных финансовых ресурсов на момент продажи составила 23 процента. Оценка стоимости облигаций в этом случае составляет:

,

т.е. стала закономерно ниже. Предприятию А пришлось удовлетвориться данной ценной своего финансового ресурса.

Характеризуя этот факт, современная финансовая теория справедливо называет прошлые затраты “мертвыми”, т.е. не имеющими значения при обосновании финансовых решений

Облигации делятся на купонные и бескупонные (дисконтные).Сначала рассмотрим эту задача  в классическом варианте для купонных облигаций. Согласно условиям инвестирования в эти долговые финансовые инструменты предприятие-эмитент облигаций обязуется производить периодический процентный платеж на годовой или полугодовой основе и погасить номинальную стоимость облигации к назначенному сроку окончания действия облигаций. Купонная облигация имеют следующие характеристики:

номинальную стоимость M ,

срок до погашения N ,

процентную ставку iн,

условия выплаты процентов (периодичность выплат m ).

Сущность оценки стоимости облигации состоит в том, что в течение срока существования облигации ее владелец должен получить ту же сумму, которую он вложил в облигацию при покупке. Особенность состоит в том, что совокупность платежей, которые должен получить владелец облигации растянута во времени, и, следовательно, все будущие денежные потоки необходимо продисконтировать к моменту времени, для которого производится оценка стоимости облигации. В качестве показателя дисконта необходимо принимать доходность аналогичных финансовых инструментов.

Математическая модель оценки денежной стоимости облигаций основана на дисконтировании денежных потоков, выплачиваемых на протяжении всего срока до погашения. Стоимость облигации в настоящий момент времени равна дисконтированной сумме всех денежных потоков, с ней связанных:

                            (4.25)

Пусть, к примеру, номинальное значение облигации составляет М = $1000. Помимо этого в контракте указываются

количество лет до погашения, N = 20 лет;

номинальная процентная ставка, ;

периодичность выплаты процентов, m = 1 год.

В соответствии с этим контрактом, инвестор имеет право получать ежегодно:

,

и получить еще $1000 через 20 лет.

Необходимо оценить рыночную стоимость облигации в изменяющихся условиях рынка.

Допустим, что в момент эмиссии облигации рыночная процентная ставка  равна номинальной. Мы хотим определить рыночную стоимость этой облигации в момент эмиссии. Воспользуемся формулой (4.25):

.

В результате решения получено , т.е. сделка является справедливой.

Пусть прошло 4 года. Инвестор получил 4 купона, т.е. 4 раза по $140. До погашения осталось 16 лет. Рыночная процентная ставка не изменилась, и она составляет 14%. Нужно снова оценить стоимость облигации по прошествии 4 лет.

.

Стоимость облигации закономерно осталась равной ее номиналу, т.к. ситуация на рынке не изменилась. Такая же ситуация сохранится на протяжении всего срока до погашения облигации, если процентная ставка на рынке не изменится.

Допустим, что средняя рыночная процентная ставка увеличилась на 2% и составляет 16%. До погашения облигации по-прежнему остается 16 лет. В этом случае стоимость данной облигации составит:

.

Это снижение стоимости имеет логическое объяснение. Поскольку по аналогичным финансовым инструментам инвесторы получают $160 в год на вложенные $1000, владельцы данной облигации будут стремиться избавиться от нее. Это создаст на фондовом рынке повышенное предложение и, вследствие чего, цена сделок будет падать, достигнув равновесного состояния в точке $886,6.

Итак, мы показали, что, имея облигацию, мы владеем суммой $886,6. Это приносит нам $140 дохода в год, что соответствует уровню доходности 16%.

Если рассмотреть противоположную ситуацию, когда средняя по рынку процентная ставка уменьшилась и составляет 12%, то следует ожидать повышения рыночной цены этой облигации, т.к. она приносит доходность большую, чем средняя по рынку. Это подтверждается расчетами:

Что, если купон выплачивается несколько (т) раз в году. В этом случае формула для расчета стоимости облигации изменится:

.                             

 Для условий предыдущего примера, когда процентная ставка составляет 12% и до погашения остается 16 лет, при полугодовой выплате процентов получим

.

В этом случае стоимость облигации оказалась несколько выше, так как процентные платежи инвестор получает более часто. И, следовательно, при возрастании стоимости облигации этот эффект должен сказаться на курсовой стоимости облигации.

Легко проверить, что для обоих рассмотренных случаев, если ситуация на рынке остается без изменения (т.е. сохраняется 16 или 12%), стоимость облигации приближается к номинальному значению:

• если облигация продается с дисконтом в момент времени «сейчас», то с течением времени стоимость облигации увеличивается и в пределе стремится к величине погашения.

• если облигация продается по цене выше номинала , то стоимость облигации снижается и предельно равна стоимости погашения.

Найденная с помощью формулы (4.25) стоимость не обязательно совпадает с той ценой, по которой облигация реально котируется на рынке.

,

где  - рыночная котировка облигации на момент времени сейчас.

Возникает задача, чему равна реальная доходность облигации, представленная в виде процентной ставки. Эта величина называется «доходностью к погашению» и обозначается . Используя базовое соотношение (4.25), можно определить с помощью уравнения:

,                                                        (4.26)

В самом деле, если облигация продается на рынке по цене , то эта цена должна быть «обеспечена» всеми последующими денежными поступлениями, но при условии, что норма доходности должна соответствовать этой цене.

Данное уравнение не решается в конечном виде. Приближенному данное уравнение можно решить с помощью финансового калькулятора или электронных таблиц Excel.

Пример. Пусть выпущена купонная облигация со сроком погашения 6 лет. Номинал облигации равен $1000, а годовая процентная ставка, определяющая годовой процентный платеж, составляет 10%. Рыночная процентная ставка равна 12%, рыночная котировка облигации $914. Выплата процентов по облигации проводится 1 раз в год.

Таблица денежных потоков, которые получит инвестор, имеет вид

 Определим рыночную цену облигации, используя формулу (4.25):

Найдем доходность к погашению  по формуле (4.26), решив следующее уравнение

Таким образом, суммарная доходность облигации к погашению составляет 12,1%.

Существуют облигации с правом отзыва, когда эмитент через своего финансового посредника имеет право выкупа облигации у инвестора, заплатив ему так называемую отзывную премию. Возможность отзыва облигации и отзывная премия меняют доходность данного финансового инструмента.

Пусть для условий предыдущего примера, время отзыва  составляет 3 года, а отзывная премия (СР) равна $50.

Денежные потоки, которые получит инвестор, имеют вид

Доходность облигации до отзыва определяется с помощью уравнения, аналогичного (4.26), решив которое мы определяем доходность облигации к отзыву Yc:

В данном случае эта доходность составляет Yc=15,22%.

Рассмотрим случай краткосрочных купонных облигаций. Пусть номинальная стоимость облигации составляет 100 грн. со сроком погашения через 364 дня. Процентные выплаты проводятся через каждые 91 день в размере 25 грн. Квартальная доходность аналогичных долговых обязательств составляет 10%.

Определим стоимость облигации на момент эмиссии с помощью формулы (4.25):

что определяет ожидаемую цену продажи.

По истечении одного квартала, т.е. когда первый купон был выплачен, процентная ставка на рынке драматично увеличилась до 18%. Предприятие хочет оценить, по какой цене эти облигации могут быть проданы на вторичном рынке. По-прежнему используем формулу (4.25):

Если же произойдут события аналогичные августу 1998г., то квартальная процентная ставка может увеличиться до 32%, и мы получим за одну облигацию всего:

         В связи с купонной облигацией часто используется понятие финансового показателя – дюрация (duration).Под дюрацией понимается средневзвешенная «зрелость» потока платежей, связанных с этой облигацией.

Расчетная формула для дюрации (D) имеет следующий вид:

            (4.27)

где tk – момент времени, в который происходит k-ая купонная выплата.

Смысл дюрации состоит в том, что инвестор пытается с ее помощью измерить риск своих вложений в облигации. В самом деле, по определению дюрация – это «временное ожидание» некоторого агрегированного денежного потока, который по финансовой значимости эквивалентен всей совокупности денежных выплат, связанных с облигацией.  Дюрация – это момент времени, когда происходит этот агрегированный платеж. Ясно, что, чем больше величина дюрации, тем более рискованным является вложение денег в данную облигацию. Наибольшую важность использование понятия дюрации имеет, когда оценивается портфель облигаций некоторого инвестора. Если в этом портфеле все облигации имеют большие значения  дюраций, то это – очень рискованный портфель. Инвестор должен стремиться к уменьшению дюраций портфеля.

            Пример. Рассмотрим облигацию, имеющую следующие показатели:

Выполнив элементарные расчеты, в том числе используя формулу (4.25), получим

            Расчет дюрации производим с использованием соотношения (4.27). Для этого устраиваем соответствующую таблицу.

Теперь несложно получить величину дюрации

            D = 8266.91/952.34 = 8.64 периода = 4.32 года.

            Бескупонная (дисконтная) облигация. Обратимся теперь к дисконтным облигациям, которые также имеют номинальную стоимость, которая выплачивается инвестору в момент погашения облигации. В процессе эмиссии такие облигации продаются со скидкой (дисконтом). Величина скидки определяется процентной ставкой по данной облигации. Как правило, дисконтные облигации имеют срок погашения от 1 до 3 лет, наиболее характерны одногодичные. Дальнейшее изучение оценки стоимости такой облигации проведем с помощью конкретного примера.

Пример. Предприятие А в день эмиссии приобрело по цене 82 грн. за штуку пакет дисконтных государственных облигаций с периодом обращения 365 дней и номинальной стоимость к погашению 100 грн. Доходность этого финансового инструмента на момент эмиссии составляла

            .

Через 165 дней, или за 200 дней до погашения облигации предприятие А решило реализовать на рынке этот пакет ценных бумаг, так как ему срочно понадобились деньги. Цена продажи была определена следующим образом:

.

Продавец дисконтировал стоимость облигации к погашению (100 гривень), использовав в качестве дисконтной ставки (21.95%) тот уровень доходности, который обеспечивал ему данный финансовый инструмент. Смысл этого расчета заключается в том, чтобы разделить первоначальную величину дисконтного дохода (100 - 82 = 18 гривень) между продавцом и покупателем в соответствии с продолжительностью периодов владения финансовым активом. Продавец владел активом 165 дней из 365, и он желает получить свою часть дисконтного дохода: 89.26 - 82 = 7.26 грн. с одной облигации. Покупателю (по мнению продавца) должна достаться та часть дисконтного дохода, которая соответствует 200 дням владения финансовым инструментом:

100 - 89.26 = 10.74 грн.

Институциональные инвесторы, желающие приобрести эти государственные облигации, считали предложенную цену завышенной, так как доминирующая процентная ставка на рынке аналогичных финансовых ресурсов на момент продажи составила 23 процента. Оценка стоимости облигаций в этом случае составляет:

,

т.е. стала закономерно ниже. Предприятию А пришлось удовлетвориться данной ценной своего финансового ресурса.

Характеризуя этот факт, современная финансовая теория справедливо называет прошлые затраты “мертвыми”, т.е. не имеющими значения при обосновании финансовых решений